Страница 17 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Комбинации цилиндра с призмой

1. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Диагональ боковой грани, содержащей больший из катетов, образует с плоскостью основания угол $30^{\circ}$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

2. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная четырёхугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 18 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{362}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

1.Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 10$ см и $b = 24$ см. Так как цилиндр описан около призмы, то его основанием является окружность, описанная около треугольника в основании призмы.
1. Найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.
2. Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы:
$R = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.
Это и есть радиус основания цилиндра.
3. Высота цилиндра $h$ равна высоте призмы. Диагональ боковой грани, содержащей больший катет ($b = 24$ см), образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Эта диагональ, высота призмы и больший катет образуют прямоугольный треугольник, в котором высота призмы $h$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$, а больший катет основания $b$ - прилежащим катетом.
Отсюда:
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{b}$
$h = b \cdot \tan(30^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.
4. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = 2\pi R(R + h)$.
Подставим найденные значения $R$ и $h$:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 13 (13 + 8\sqrt{3}) = 26\pi(13 + 8\sqrt{3})$ см$^2$.
Ответ: $26\pi(13 + 8\sqrt{3})$ см$^2$.

2.Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $h$. Высоты обеих призм также равны $h$.
1. Для правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, основанием является правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Сторона такого шестиугольника $a_6$ равна радиусу описанной окружности: $a_6 = R$.
Периметр основания шестиугольной призмы: $P_6 = 6 \cdot a_6 = 6R$.
Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы: $S_6 = P_6 \cdot h = 6Rh$.
2. Для правильной четырехугольной призмы, описанной около цилиндра, основанием является квадрат, описанный около окружности радиуса $R$. Сторона такого квадрата $a_4$ равна диаметру вписанной окружности: $a_4 = 2R$.
Периметр основания четырехугольной призмы: $P_4 = 4 \cdot a_4 = 4 \cdot (2R) = 8R$.
Площадь боковой поверхности четырехугольной призмы: $S_4 = P_4 \cdot h = 8Rh$.
3. Найдем отношение площадей боковых поверхностей этих призм (шестиугольной к четырехугольной):
$\frac{S_6}{S_4} = \frac{6Rh}{8Rh} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

3.Поскольку в призму вписан цилиндр, в ее основание (равнобокую трапецию) можно вписать окружность.
1. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции $a = 18$ см и $b = 8$ см, а боковая сторона - $c$. Тогда:
$a + b = 2c \implies 18 + 8 = 2c \implies 26 = 2c \implies c = 13$ см.
2. Найдем высоту трапеции $h_{трап}$. Она является диаметром вписанной окружности. Проведем высоту из вершины меньшего основания. Она отсекает от большего основания отрезок длиной $\frac{a-b}{2} = \frac{18-8}{2} = 5$ см. Из полученного прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
$h_{трап} = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.
3. Радиус вписанной в трапецию окружности (и радиус основания вписанного цилиндра) $r$ равен половине высоты трапеции:
$r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
4. Найдем высоту призмы $H$. Диагональ призмы $D_{призмы}$, диагональ основания $d_{осн}$ и высота призмы $H$ связаны соотношением $D_{призмы}^2 = d_{осн}^2 + H^2$.
Найдем квадрат диагонали трапеции. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю, высотой трапеции и частью большего основания ($a - \frac{a-b}{2} = 18 - 5 = 13$ см):
$d_{осн}^2 = h_{трап}^2 + (13)^2 = 12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$.
Теперь найдем высоту призмы:
$H^2 = D_{призмы}^2 - d_{осн}^2 = (\sqrt{362})^2 - 313 = 362 - 313 = 49$.
$H = \sqrt{49} = 7$ см.
5. Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r H$.
$S_{бок} = 2\pi \cdot 6 \cdot 7 = 84\pi$ см$^2$.
Ответ: $84\pi$ см$^2$.

Самостоятельная работа № 10

Конус

1. Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и противолежащим к ней углом 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 9 см. Найдите градусную меру дуги этого сектора, если радиус основания конуса равен 3 см.

3. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей среднюю из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Поскольку один из углов равен $120°$, а сумма углов в треугольнике равна $180°$, этот угол должен быть углом при вершине, так как если бы это был угол при основании, то сумма двух углов при основании была бы $240°$, что невозможно. Следовательно, сторона длиной 8 см, лежащая напротив угла $120°$, является основанием этого треугольника и диаметром основания конуса. Боковые стороны треугольника являются образующими конуса.

Диаметр основания конуса $d = 8$ см, значит, радиус основания $r = d/2 = 4$ см.

Пусть $l$ — образующая конуса. Она является боковой стороной в треугольнике осевого сечения. Мы можем найти ее, используя теорему косинусов для этого треугольника:

$d^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(120°)$

$8^2 = 2l^2 - 2l^2 \cdot (-1/2)$

$64 = 2l^2 + l^2$

$64 = 3l^2$

$l = \sqrt{64/3} = 8/\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

$S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$

Подставим найденные значения $r$ и $l$:

$S_{полн} = \pi \cdot 4 \cdot (4 + \frac{8\sqrt{3}}{3}) = 4\pi \left(\frac{12 + 8\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{16\pi(3 + 2\sqrt{3})}{3}$ см².

Ответ: $\frac{16\pi(3 + 2\sqrt{3})}{3}$ см².

2.

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

Из условия задачи нам дано:

Радиус сектора (образующая конуса) $l = 9$ см.

Радиус основания конуса $r = 3$ см.

Сначала найдем длину окружности основания конуса по формуле $C = 2\pi r$:

$C = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$ см.

Длина дуги сектора $L$ с центральным углом $\alpha$ (в градусах) и радиусом $l$ вычисляется по формуле $L = \frac{2\pi l \alpha}{360°}$. Так как $L=C$, мы можем записать:

$6\pi = \frac{2\pi \cdot 9 \cdot \alpha}{360°}$

$6\pi = \frac{18\pi \alpha}{360°}$

Разделим обе части уравнения на $6\pi$:

$1 = \frac{3\alpha}{360°}$

Отсюда находим $\alpha$:

$\alpha = \frac{360°}{3} = 120°$.

Более быстрый способ — использовать соотношение: $\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360°}$.

$\frac{3}{9} = \frac{\alpha}{360°} \implies \frac{1}{3} = \frac{\alpha}{360°} \implies \alpha = \frac{360°}{3} = 120°$.

Ответ: $120°$.

3.

Тело, полученное в результате вращения треугольника вокруг одной из его сторон, будет состоять из двух конусов, имеющих общее основание. Осью вращения является средняя по длине сторона, равная 14 см. Две другие стороны, 13 см и 15 см, становятся образующими этих двух конусов ($l_1 = 13$ см и $l_2 = 15$ см). Радиус $r$ их общего основания равен высоте треугольника, проведенной к стороне, вокруг которой происходит вращение.

Для нахождения высоты (радиуса $r$) сначала вычислим площадь треугольника со сторонами $a=13$, $b=14$, $c=15$ по формуле Герона.

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Площадь треугольника $S_{\Delta} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$:

$S_{\Delta} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Также площадь треугольника можно найти по формуле $S_{\Delta} = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к нему. В нашем случае $b=14$ см, а высота $h$ — это искомый радиус $r$.

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot r$

$84 = 7r$

$r = 12$ см.

Площадь поверхности тела вращения — это сумма площадей боковых поверхностей двух конусов (общее основание находится внутри тела и в площадь поверхности не входит). Формула площади боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi r l$.

$S_{тела} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r(l_1 + l_2)$

Подставим значения $r$, $l_1$ и $l_2$:

$S_{тела} = \pi \cdot 12 \cdot (13 + 15) = 12\pi \cdot 28 = 336\pi$ см².

Ответ: $336\pi$ см².

Самостоятельная работа № 11

Усечённый конус

1. Радиусы оснований усечённого конуса равны 1 см и 6 см, а высота — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

2. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна $81 \text{ см}^2$, а площадь большего основания — $121 \text{ см}^2$. Найдите площадь меньшего основания усечённого конуса.

3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину угла, равного $\alpha$, перпендикулярно гипотенузе и лежит в плоскости треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

Дано: $r_1 = 1$ см, $r_2 = 6$ см, высота $h = 12$ см.

Сначала найдём образующую $l$. Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобедренную трапецию. Высота этой трапеции равна высоте конуса $h$, а основания равны диаметрам оснований конуса. Образующая $l$ является боковой стороной этой трапеции. Её можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $(r_2 - r_1)$, а гипотенузой — образующая $l$.

$l = \sqrt{h^2 + (r_2 - r_1)^2}$

Подставим известные значения:

$l = \sqrt{12^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{144 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(1 + 6) \cdot 13 = \pi \cdot 7 \cdot 13 = 91\pi$ см$^2$.

Ответ: $91\pi$ см$^2$.

2.

Пусть $S_1$ — площадь меньшего основания, $S_2$ — площадь большего основания, а $S_{сеч}$ — площадь сечения, проведённого через середину высоты. Радиусы этих окружностей обозначим соответственно как $r_1$, $r_2$ и $r_{сеч}$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, откуда $r = \sqrt{S/\pi}$.

Радиус сечения, проведённого через середину высоты усечённого конуса, является средним арифметическим радиусов его оснований:

$r_{сеч} = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Подставим выражения для радиусов через площади:

$\sqrt{S_{сеч}/\pi} = \frac{\sqrt{S_1/\pi} + \sqrt{S_2/\pi}}{2}$

Умножим обе части на $2\sqrt{\pi}$:

$2\sqrt{S_{сеч}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}$

Нам даны $S_{сеч} = 81$ см$^2$ и $S_2 = S_{больш} = 121$ см$^2$. Найдём $S_1 = S_{меньш}$.

$2\sqrt{81} = \sqrt{S_1} + \sqrt{121}$

$2 \cdot 9 = \sqrt{S_1} + 11$

$18 = \sqrt{S_1} + 11$

$\sqrt{S_1} = 18 - 11 = 7$

$S_1 = 7^2 = 49$ см$^2$.

Ответ: 49 см$^2$.

3.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине B. Гипотенуза $AC = c$, а острый угол $\angle BAC = \alpha$. Тогда катеты равны $AB = c \cos\alpha$ и $BC = c \sin\alpha$.

Ось вращения проходит через вершину A перпендикулярно гипотенузе AC.

Тело вращения образуется вращением катетов AB и BC вокруг этой оси. Поверхность тела вращения состоит из двух частей: поверхности, образованной вращением катета AB, и поверхности, образованной вращением катета BC.

1. Вращение катета AB образует боковую поверхность конуса с вершиной в точке A. Образующая этого конуса равна длине катета $l_1 = AB = c \cos\alpha$. Радиус основания этого конуса $r_1$ равен расстоянию от точки B до оси вращения. Это расстояние равно проекции катета AB на гипотенузу AC, то есть $r_1 = AB \cos\alpha = (c \cos\alpha) \cos\alpha = c \cos^2\alpha$.

Площадь боковой поверхности этого конуса: $S_1 = \pi r_1 l_1 = \pi (c \cos^2\alpha) (c \cos\alpha) = \pi c^2 \cos^3\alpha$.

2. Вращение катета BC образует боковую поверхность усечённого конуса. Образующая этого усечённого конуса равна длине катета $l_2 = BC = c \sin\alpha$. Радиусы оснований этого усечённого конуса равны расстояниям от точек B и C до оси вращения.

Радиус, соответствующий точке B, мы уже нашли: $r_B = r_1 = c \cos^2\alpha$.

Радиус, соответствующий точке C, равен расстоянию от C до оси вращения. Так как ось проходит через A и перпендикулярна AC, это расстояние равно длине гипотенузы: $r_C = AC = c$.

Площадь боковой поверхности этого усечённого конуса: $S_2 = \pi (r_B + r_C) l_2 = \pi (c \cos^2\alpha + c) (c \sin\alpha) = \pi c^2 (1 + \cos^2\alpha) \sin\alpha$.

Общая площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = \pi c^2 \cos^3\alpha + \pi c^2 (1 + \cos^2\alpha) \sin\alpha$

$S = \pi c^2 (\cos^3\alpha + \sin\alpha + \sin\alpha \cos^2\alpha)$.

Ответ: $\pi c^2 (\cos^3\alpha + \sin\alpha + \sin\alpha \cos^2\alpha)$.