Номер 11, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 11

Усечённый конус

1. Радиусы оснований усечённого конуса равны 1 см и 6 см, а высота — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

2. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна $81 \text{ см}^2$, а площадь большего основания — $121 \text{ см}^2$. Найдите площадь меньшего основания усечённого конуса.

3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину угла, равного $\alpha$, перпендикулярно гипотенузе и лежит в плоскости треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

Дано: $r_1 = 1$ см, $r_2 = 6$ см, высота $h = 12$ см.

Сначала найдём образующую $l$. Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобедренную трапецию. Высота этой трапеции равна высоте конуса $h$, а основания равны диаметрам оснований конуса. Образующая $l$ является боковой стороной этой трапеции. Её можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $(r_2 - r_1)$, а гипотенузой — образующая $l$.

$l = \sqrt{h^2 + (r_2 - r_1)^2}$

Подставим известные значения:

$l = \sqrt{12^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{144 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(1 + 6) \cdot 13 = \pi \cdot 7 \cdot 13 = 91\pi$ см$^2$.

Ответ: $91\pi$ см$^2$.

2.

Пусть $S_1$ — площадь меньшего основания, $S_2$ — площадь большего основания, а $S_{сеч}$ — площадь сечения, проведённого через середину высоты. Радиусы этих окружностей обозначим соответственно как $r_1$, $r_2$ и $r_{сеч}$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, откуда $r = \sqrt{S/\pi}$.

Радиус сечения, проведённого через середину высоты усечённого конуса, является средним арифметическим радиусов его оснований:

$r_{сеч} = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Подставим выражения для радиусов через площади:

$\sqrt{S_{сеч}/\pi} = \frac{\sqrt{S_1/\pi} + \sqrt{S_2/\pi}}{2}$

Умножим обе части на $2\sqrt{\pi}$:

$2\sqrt{S_{сеч}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}$

Нам даны $S_{сеч} = 81$ см$^2$ и $S_2 = S_{больш} = 121$ см$^2$. Найдём $S_1 = S_{меньш}$.

$2\sqrt{81} = \sqrt{S_1} + \sqrt{121}$

$2 \cdot 9 = \sqrt{S_1} + 11$

$18 = \sqrt{S_1} + 11$

$\sqrt{S_1} = 18 - 11 = 7$

$S_1 = 7^2 = 49$ см$^2$.

Ответ: 49 см$^2$.

3.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине B. Гипотенуза $AC = c$, а острый угол $\angle BAC = \alpha$. Тогда катеты равны $AB = c \cos\alpha$ и $BC = c \sin\alpha$.

Ось вращения проходит через вершину A перпендикулярно гипотенузе AC.

Тело вращения образуется вращением катетов AB и BC вокруг этой оси. Поверхность тела вращения состоит из двух частей: поверхности, образованной вращением катета AB, и поверхности, образованной вращением катета BC.

1. Вращение катета AB образует боковую поверхность конуса с вершиной в точке A. Образующая этого конуса равна длине катета $l_1 = AB = c \cos\alpha$. Радиус основания этого конуса $r_1$ равен расстоянию от точки B до оси вращения. Это расстояние равно проекции катета AB на гипотенузу AC, то есть $r_1 = AB \cos\alpha = (c \cos\alpha) \cos\alpha = c \cos^2\alpha$.

Площадь боковой поверхности этого конуса: $S_1 = \pi r_1 l_1 = \pi (c \cos^2\alpha) (c \cos\alpha) = \pi c^2 \cos^3\alpha$.

2. Вращение катета BC образует боковую поверхность усечённого конуса. Образующая этого усечённого конуса равна длине катета $l_2 = BC = c \sin\alpha$. Радиусы оснований этого усечённого конуса равны расстояниям от точек B и C до оси вращения.

Радиус, соответствующий точке B, мы уже нашли: $r_B = r_1 = c \cos^2\alpha$.

Радиус, соответствующий точке C, равен расстоянию от C до оси вращения. Так как ось проходит через A и перпендикулярна AC, это расстояние равно длине гипотенузы: $r_C = AC = c$.

Площадь боковой поверхности этого усечённого конуса: $S_2 = \pi (r_B + r_C) l_2 = \pi (c \cos^2\alpha + c) (c \sin\alpha) = \pi c^2 (1 + \cos^2\alpha) \sin\alpha$.

Общая площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = \pi c^2 \cos^3\alpha + \pi c^2 (1 + \cos^2\alpha) \sin\alpha$

$S = \pi c^2 (\cos^3\alpha + \sin\alpha + \sin\alpha \cos^2\alpha)$.

Ответ: $\pi c^2 (\cos^3\alpha + \sin\alpha + \sin\alpha \cos^2\alpha)$.