Номер 14, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 14

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Вершины треугольника со стороной 6 см и противолежащим ей углом 120° лежат на поверхности шара, радиус которого равен 4 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

2. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна $4\sqrt{3}$ см, а острый угол — 60°. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 5 см.

3. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 169$ в точке C (1; 9; 11).

1.

Пусть $R$ — радиус шара, $R = 4$ см. Вершины треугольника лежат на поверхности шара, следовательно, шар является описанным около этого треугольника. Плоскость треугольника пересекает шар по окружности, которая является описанной окружностью для данного треугольника.

Пусть $r$ — радиус описанной окружности треугольника, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости треугольника. Эти величины связаны соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием от центра шара до плоскости сечения: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Найдем радиус $r$ описанной окружности треугольника, используя теорему синусов. По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $ \frac{a}{\sin \alpha} = 2r $

По условию, сторона треугольника $a = 6$ см, а противолежащий ей угол $\alpha = 120^\circ$.

$ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим значения в формулу: $ r = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $ см.

Теперь можем найти расстояние $d$: $ d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 4 \cdot 3} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2 $ см.

Ответ: 2 см.

2.

Пусть $R$ — радиус шара, $R = 5$ см. Так как шар касается всех сторон трапеции, то в эту трапецию можно вписать окружность. Центр этой окружности будет проекцией центра шара на плоскость трапеции.

Пусть $r$ — радиус вписанной в трапецию окружности, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости трапеции. Эти величины связаны соотношением $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты: $r = h/2$. Найдем высоту трапеции. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции $c = 4\sqrt{3}$ см, а одним из острых углов — угол при основании трапеции $\alpha = 60^\circ$. Высота $h$ является катетом, противолежащим этому углу.

$ h = c \cdot \sin \alpha = 4\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 $ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности: $ r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3 $ см.

Найдем расстояние $d$: $ d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $ см.

Ответ: 4 см.

3.

Уравнение сферы имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты центра сферы $O$, а $R$ — ее радиус.

Из данного уравнения сферы $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 169$ находим координаты ее центра $O(-2; 5; -1)$.

Плоскость, касающаяся сферы в точке $C$, перпендикулярна радиусу $OC$, проведенному в точку касания. Следовательно, вектор $\vec{OC}$ является вектором нормали к искомой плоскости.

Найдем координаты вектора нормали $\vec{n} = \vec{OC}$. Даны координаты точек $O(-2; 5; -1)$ и $C(1; 9; 11)$. $ \vec{n} = (1 - (-2); 9 - 5; 11 - (-1)) = (3; 4; 12) $.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $C(x_C; y_C; z_C)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид: $ A(x - x_C) + B(y - y_C) + C(z - z_C) = 0 $.

Подставим координаты точки $C(1; 9; 11)$ и вектора нормали $\vec{n} = (3; 4; 12)$: $ 3(x - 1) + 4(y - 9) + 12(z - 11) = 0 $.

Раскроем скобки и упростим выражение: $ 3x - 3 + 4y - 36 + 12z - 132 = 0 $ $ 3x + 4y + 12z - 171 = 0 $

Ответ: $3x + 4y + 12z - 171 = 0$.