Номер 19, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самастоятельная работа № 19

Объём тела.

Формулы для вычисления объёма призмы

1. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём параллелепипеда.

2. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, $AC = b$, $\angle ABC = \beta$. Угол между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания призмы равен $\alpha$. Найдите объём призмы.

3. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см. Две противолежащие боковые грани параллелепипеда — также прямоугольники со сторонами 5 см и 4 см, а острый угол двух других граней равен 45°. Найдите объём параллелепипеда.

1. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота (боковое ребро). Пусть стороны основания равны $a$ и $b$, тогда $V = a \cdot b \cdot h$. По условию, одна из сторон основания $a = 6$ см, а боковое ребро $h = 4$ см. Диагональ параллелепипеда $D$ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Проекцией диагонали параллелепипеда на плоскость основания является диагональ основания $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $D$, диагональю основания $d$ и боковым ребром $h$. В этом треугольнике $h$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$, а $d$ — прилежащим катетом. Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{d}$ Отсюда найдём диагональ основания $d$: $d = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см. Основанием является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его диагональ $d$ связана со сторонами по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$ Подставим известные значения: $(4\sqrt{3})^2 = 6^2 + b^2$ $16 \cdot 3 = 36 + b^2$ $48 = 36 + b^2$ $b^2 = 48 - 36 = 12$ $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Теперь можем найти объём параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot h = 6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = 48\sqrt{3}$ см$^3$.
Ответ: $48\sqrt{3}$ см$^3$.

2. Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.
1. Найдём площадь основания $S_{ABC}$. Основание — равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=BC$, $AC=b$ и $\angle ABC = \beta$. Для нахождения площади воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\beta) = \frac{1}{2} AB^2 \sin(\beta)$. Чтобы найти сторону $AB$, применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\beta)$ $b^2 = 2AB^2 - 2AB^2 \cos(\beta) = 2AB^2(1 - \cos(\beta))$ Используя формулу $1 - \cos(\beta) = 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$, получаем: $b^2 = 2AB^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 4AB^2\sin^2(\frac{\beta}{2})$ Отсюда $AB = \frac{b}{2\sin(\frac{\beta}{2})}$. Подставим $AB$ в формулу площади и, используя формулу синуса двойного угла $\sin(\beta) = 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$, получим: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \left(\frac{b}{2\sin(\frac{\beta}{2})}\right)^2 \sin(\beta) = \frac{1}{2} \frac{b^2}{4\sin^2(\frac{\beta}{2})} \cdot 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$ $S_{ABC} = \frac{b^2 \cos(\frac{\beta}{2})}{4\sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{b^2}{4} \cot(\frac{\beta}{2})$.
2. Найдём высоту призмы $h$. Угол $\alpha$ между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Проведём в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $BH$ также является медианой. Соединим точки $B_1$ и $H$. $B_1H$ — наклонная, $BH$ — её проекция на плоскость основания. Так как $BH \perp AC$, по теореме о трёх перпендикулярах $B_1H \perp AC$. Следовательно, угол $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $AB_1C$ и $ABC$, то есть $\angle B_1HB = \alpha$. Призма прямая, поэтому боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию, значит $\triangle B_1BH$ — прямоугольный. Высота призмы $h = BB_1$. Из $\triangle B_1BH$: $\tan(\alpha) = \frac{BB_1}{BH} \Rightarrow h = BB_1 = BH \cdot \tan(\alpha)$. Найдём $BH$. В прямоугольном треугольнике $BHC$ катет $HC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$ и угол $\angle HBC = \frac{\beta}{2}$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике: $BH = HC \cdot \cot(\angle HBC) = \frac{b}{2} \cot(\frac{\beta}{2})$. Тогда высота призмы: $h = \frac{b}{2} \cot(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)$.
3. Найдём объём призмы. $V = S_{ABC} \cdot h = \left(\frac{b^2}{4} \cot(\frac{\beta}{2})\right) \cdot \left(\frac{b}{2} \cot(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)\right) = \frac{b^3}{8} \cot^2(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)$.
Ответ: $\frac{b^3}{8} \cot^2(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)$.

3. Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.
1. Найдём площадь основания. Основанием является прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см. $S_{осн} = 5 \cdot 8 = 40$ см$^2$.
2. Найдём высоту параллелепипеда $H$. Пусть основание — прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=8$ см и $AD=5$ см. Верхнее основание — $A_1B_1C_1D_1$. По условию, две противоположные боковые грани, $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$, являются прямоугольниками со сторонами 5 см и 4 см. Так как $AD=BC=5$ см, то длина бокового ребра равна 4 см, то есть $AA_1 = BB_1 = 4$ см. То, что грань $ADD_1A_1$ — прямоугольник, означает, что боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру основания $AD$. Другие две грани, $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$, являются параллелограммами со сторонами 8 см и 4 см, и их острый угол равен $45^\circ$. Это означает, что угол между рёбрами, образующими эту грань, равен $45^\circ$. Например, $\angle A_1AB = 45^\circ$. Высота параллелепипеда $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки верхнего основания (например, $A_1$) на плоскость нижнего основания. Опустим перпендикуляр $A_1K$ на плоскость $(ABC)$. Тогда $H=A_1K$. Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру основания $AD$, то проекция $AK$ ребра $AA_1$ на плоскость основания должна быть перпендикулярна $AD$. В основании $ABCD$ ребру $AD$ перпендикулярно ребро $AB$. Следовательно, проекция $AK$ лежит на прямой $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1KA$. Гипотенуза $AA_1 = 4$ см. Угол $\angle A_1AK$ — это угол между боковым ребром $AA_1$ и его проекцией $AK$ на плоскость основания. Поскольку $K$ лежит на прямой $AB$, этот угол совпадает с углом $\angle A_1AB$, который по условию равен $45^\circ$. Из треугольника $A_1KA$ находим катет $A_1K = H$: $H = A_1K = AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AK) = 4 \cdot \sin(45^\circ)$. $H = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.
3. Найдём объём параллелепипеда. $V = S_{осн} \cdot H = 40 \cdot 2\sqrt{2} = 80\sqrt{2}$ см$^3$.
Ответ: $80\sqrt{2}$ см$^3$.