Номер 2, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 2

Векторы в пространстве

1. Найдите точку $A_1$, являющуюся образом точки A $(1; -4; 7)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c} (-6; 3; 2)$. Найдите модуль вектора $\vec{AA_1}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: A $(4; -5; -2)$, B $(2; 3; -8)$ и D $(-3; -4; 6)$. Используя векторы, найдите координаты вершины C.

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На отрезке $BD$ отметили точку $F$. Докажите, что векторы $\vec{C_1D}$, $\vec{AD_1}$ и $\vec{C_1F}$ являются компланарными.

1. Чтобы найти координаты точки $A_1$, являющейся образом точки $A(1; -4; 7)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c}(-6; 3; 2)$, нужно к координатам точки $A$ прибавить соответствующие координаты вектора $\vec{c}$.
Пусть $A_1$ имеет координаты $(x_1; y_1; z_1)$.
$x_1 = 1 + (-6) = -5$
$y_1 = -4 + 3 = -1$
$z_1 = 7 + 2 = 9$
Таким образом, координаты точки $A_1$ равны $(-5; -1; 9)$.
Вектор $\vec{AA_1}$ по определению параллельного переноса равен вектору переноса $\vec{c}$. Следовательно, $\vec{AA_1} = \vec{c}(-6; 3; 2)$.
Модуль (длина) вектора вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Найдем модуль вектора $\vec{AA_1}$:
$|\vec{AA_1}| = |\vec{c}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: $A_1(-5; -1; 9)$, $|\vec{AA_1}| = 7$.

2. В параллелограмме $ABCD$ векторы, образованные противоположными сторонами, равны. Например, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(4; -5; -2)$ и $B(2; 3; -8)$:
$\vec{AB} = (2-4; 3-(-5); -8-(-2)) = (-2; 8; -6)$.
Пусть искомая вершина $C$ имеет координаты $(x; y; z)$. Тогда вектор $\vec{DC}$ имеет координаты, вычисляемые из координат точек $D(-3; -4; 6)$ и $C(x; y; z)$:
$\vec{DC} = (x - (-3); y - (-4); z - 6) = (x+3; y+4; z-6)$.
Приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:
$x+3 = -2 \implies x = -5$
$y+4 = 8 \implies y = 4$
$z-6 = -6 \implies z = 0$
Следовательно, координаты вершины $C$ равны $(-5; 4; 0)$.
Ответ: $C(-5; 4; 0)$.

3. Три вектора являются компланарными, если один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других. Докажем, что вектор $\vec{C_1F}$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{C_1D}$ и $\vec{AD_1}$.
Введем базис, связанный с вершиной $A$ параллелепипеда: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.
Выразим векторы $\vec{C_1D}$ и $\vec{AD_1}$ через базисные векторы:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{b} + \vec{c}$.
$\vec{C_1D} = \vec{C_1C} + \vec{CD} = -\vec{CC_1} + \vec{BA} = -\vec{c} - \vec{a}$.
Точка $F$ лежит на отрезке $BD$. Это означает, что вектор $\vec{BF}$ коллинеарен вектору $\vec{BD}$, то есть существует такое число $k \in [0, 1]$, что $\vec{BF} = k \cdot \vec{BD}$.
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
$\vec{BF} = k(\vec{b} - \vec{a})$.
Теперь выразим вектор $\vec{C_1F}$ через базис:
$\vec{C_1F} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1B} + \vec{BF}$
$\vec{C_1B_1} = \vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$.
$\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{AA_1} = -\vec{c}$.
$\vec{C_1F} = -\vec{b} - \vec{c} + k(\vec{b} - \vec{a}) = -k\vec{a} + (k-1)\vec{b} - \vec{c}$.
Проверим, существуют ли такие числа $m$ и $n$, что $\vec{C_1F} = m\vec{C_1D} + n\vec{AD_1}$:
$-k\vec{a} + (k-1)\vec{b} - \vec{c} = m(-\vec{a} - \vec{c}) + n(\vec{b} + \vec{c})$
$-k\vec{a} + (k-1)\vec{b} - \vec{c} = -m\vec{a} + n\vec{b} + (n-m)\vec{c}$
Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ некомпланарны (образуют базис), мы можем приравнять коэффициенты при них:
$\begin{cases} -k = -m \\ k-1 = n \\ -1 = n-m \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $m=k$. Подставляем это и второе уравнение в третье:
$-1 = (k-1) - k$
$-1 = k - 1 - k$
$-1 = -1$
Полученное тождество означает, что система имеет решение для любого $k \in [0, 1]$. В частности, $m=k$ и $n=k-1$.
Таким образом, $\vec{C_1F} = k\vec{C_1D} + (k-1)\vec{AD_1}$. Так как один из векторов является линейной комбинацией двух других, то векторы $\vec{C_1D}$, $\vec{AD_1}$ и $\vec{C_1F}$ являются компланарными, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что векторы являются компланарными.