Номер 4, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 4

Умножение вектора на число. Гомотетия

1. Найдите модуль вектора $\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$, если $\vec{a} (5; -12; 4)$, $\vec{b} (1; -2; 2)$.

2. Дан вектор $\vec{b} (2; -1; -2)$. Найдите координаты вектора $\vec{c}$, противоположно направленного с вектором $\vec{b}$, если $|\vec{c}| = 45$.

3. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; -1; 2)$, $B (4; -3; 6)$, $C (-1; -2; 1)$ и $D (-4; -1; -1)$ является трапецией.

1.

Чтобы найти модуль вектора $\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$, сначала найдем координаты этого вектора.

1. Найдем координаты вектора $2\vec{a}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{a}(5; -12; 4)$ на 2:
$2\vec{a} = (2 \cdot 5; 2 \cdot (-12); 2 \cdot 4) = (10; -24; 8)$.

2. Найдем координаты вектора $3\vec{b}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{b}(1; -2; 2)$ на 3:
$3\vec{b} = (3 \cdot 1; 3 \cdot (-2); 3 \cdot 2) = (3; -6; 6)$.

3. Теперь найдем координаты вектора $\vec{m}$, вычитая из координат вектора $2\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $3\vec{b}$:
$\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b} = (10 - 3; -24 - (-6); 8 - 6) = (7; -18; 2)$.

4. Модуль (длина) вектора $\vec{m}(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
$|\vec{m}| = \sqrt{7^2 + (-18)^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 324 + 4} = \sqrt{377}$.

Ответ: $\sqrt{377}$.

2.

Два вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в разные стороны. Это означает, что вектор $\vec{c}$ можно представить в виде $\vec{c} = k \cdot \vec{b}$, где $k$ - отрицательное число.

1. Найдем модуль вектора $\vec{b}(2; -1; -2)$:
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

2. Модули коллинеарных векторов связаны соотношением $|\vec{c}| = |k| \cdot |\vec{b}|$. По условию $|\vec{c}| = 45$.
$45 = |k| \cdot 3$.
Отсюда $|k| = \frac{45}{3} = 15$.

3. Так как векторы $\vec{c}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, коэффициент $k$ должен быть отрицательным: $k = -15$.

4. Теперь найдем координаты вектора $\vec{c}$, умножив координаты вектора $\vec{b}$ на $k = -15$:
$\vec{c} = -15 \cdot \vec{b} = (-15 \cdot 2; -15 \cdot (-1); -15 \cdot (-2)) = (-30; 15; 30)$.

Ответ: $\vec{c}(-30; 15; 30)$.

3.

Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие - нет. Чтобы доказать, что $ABCD$ является трапецией, нужно найти векторы, соответствующие его сторонам, и проверить их на коллинеарность (параллельность).

1. Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника $ABCD$ с вершинами $A(-2; -1; 2)$, $B(4; -3; 6)$, $C(-1; -2; 1)$ и $D(-4; -1; -1)$.
$\vec{AB} = (4 - (-2); -3 - (-1); 6 - 2) = (6; -2; 4)$.
$\vec{BC} = (-1 - 4; -2 - (-3); 1 - 6) = (-5; 1; -5)$.
$\vec{CD} = (-4 - (-1); -1 - (-2); -1 - 1) = (-3; 1; -2)$.
$\vec{DA} = (-2 - (-4); -1 - (-1); 2 - (-1)) = (2; 0; 3)$.

2. Проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противоположным сторонам. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

Сравним векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$. Для этого сначала найдем вектор $\vec{DC}$:
$\vec{DC} = -\vec{CD} = -(-3; 1; -2) = (3; -1; 2)$.
Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{AB}(6; -2; 4)$ и $\vec{DC}(3; -1; 2)$:
$\frac{6}{3} = 2$; $\frac{-2}{-1} = 2$; $\frac{4}{2} = 2$.
Так как отношения координат равны, векторы коллинеарны, и $\vec{AB} = 2\vec{DC}$. Следовательно, стороны $AB$ и $DC$ параллельны.

Сравним векторы $\vec{BC}(-5; 1; -5)$ и $\vec{AD}$. Найдем вектор $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = -\vec{DA} = -(2; 0; 3) = (-2; 0; -3)$.
Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{BC}(-5; 1; -5)$ и $\vec{AD}(-2; 0; -3)$:
$\frac{-5}{-2} = 2.5$; $\frac{1}{0}$.
Поскольку отношение вторых координат определить невозможно (деление на ноль), а сами вторые координаты не равны нулю одновременно ($1 \neq 0$), векторы не коллинеарны. Следовательно, стороны $BC$ и $AD$ не параллельны.

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ две стороны ($AB$ и $DC$) параллельны, а две другие ($BC$ и $AD$) не параллельны, данный четырехугольник является трапецией, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.