Номер 11, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 11

Усечённый конус

1. Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 см и 10 см, а высота — 15 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

2. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна $36 \text{ см}^2$, а площадь меньшего основания — $16 \text{ см}^2$. Найдите площадь большего основания усечённого конуса.

3. В прямоугольном треугольнике катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, противолежащего данному катету, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ – радиусы оснований, а $l$ – длина образующей.

Дано: $R = 10$ см, $r = 2$ см, высота $h = 15$ см.

Сначала найдём длину образующей $l$. Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса – это равнобедренная трапеция. Образующая $l$ является боковой стороной этой трапеции. Если провести высоту из вершины меньшего основания, мы получим прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $(R-r)$, и гипотенузой $l$.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$ $R-r = 10 - 2 = 8$ см. $l^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$ $l = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi(10 + 2) \cdot 17 = \pi \cdot 12 \cdot 17 = 204\pi$ см$^2$.

Ответ: $204\pi$ см$^2$.

2.

Пусть $S_1$, $S_2$ и $S_3$ – площади меньшего основания, сечения и большего основания соответственно. Пусть их радиусы равны $r_1$, $r_2$ и $r_3$.

Для конуса (и усечённого конуса) радиус сечения, параллельного основанию, является линейной функцией высоты, отсчитываемой от вершины исходного полного конуса. Так как сечение проведено через середину высоты усечённого конуса, то три плоскости (меньшее основание, сечение и большее основание) находятся на равном расстоянии друг от друга. Это означает, что их радиусы $r_1, r_2, r_3$ образуют арифметическую прогрессию.

Следовательно, $r_2 = \frac{r_1 + r_3}{2}$.

Площадь круга равна $S = \pi r^2$, откуда $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$. Подставим это в соотношение для радиусов: $\sqrt{\frac{S_2}{\pi}} = \frac{\sqrt{\frac{S_1}{\pi}} + \sqrt{\frac{S_3}{\pi}}}{2}$

Умножив обе части на $\sqrt{\pi}$, получим, что квадратные корни из площадей также образуют арифметическую прогрессию: $\sqrt{S_2} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_3}}{2}$

Подставим известные значения: $S_1 = 16$ см$^2$, $S_2 = 36$ см$^2$. $\sqrt{36} = \frac{\sqrt{16} + \sqrt{S_3}}{2}$ $6 = \frac{4 + \sqrt{S_3}}{2}$ $12 = 4 + \sqrt{S_3}$ $\sqrt{S_3} = 12 - 4 = 8$ $S_3 = 8^2 = 64$ см$^2$.

Ответ: $64$ см$^2$.

3.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катет $BC=a$ и прилежащий к нему острый угол $\angle B = \alpha$. Тогда $\angle A = 90^\circ - \alpha$, катет $AC = BC \tan \alpha = a \tan \alpha$, а гипотенуза $AB = \frac{BC}{\cos \alpha} = \frac{a}{\cos \alpha}$.

Ось вращения $l$ проходит через вершину $A$ (противолежащую катету $a$) и перпендикулярна гипотенузе $AB$. Тело вращения образуется при вращении площади треугольника $ABC$ вокруг оси $l$. Поверхность этого тела образуется при вращении контура треугольника – сторон $AC$, $BC$ и $AB$.

Для удобства расчётов введём систему координат: поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0)$, а ось вращения $l$ совместим с осью $Oy$. Тогда гипотенуза $AB$ будет лежать на оси $Ox$.

Координаты вершин треугольника: $A = (0,0)$ $B = (AB, 0) = (\frac{a}{\cos \alpha}, 0)$ Координаты вершины $C(x_C, y_C)$ найдём из того, что $AC$ образует угол $90^\circ - \alpha$ с осью $Ox$: $x_C = AC \cos(90^\circ-\alpha) = (a \tan \alpha) \sin \alpha = a \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$ $y_C = AC \sin(90^\circ-\alpha) = (a \tan \alpha) \cos \alpha = a \sin \alpha$

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей поверхностей, образованных вращением каждой стороны треугольника:
1. Вращение стороны $AC$ образует боковую поверхность конуса ($S_{AC}$). Радиус основания этого конуса равен расстоянию от точки $C$ до оси вращения, то есть $r_C = x_C$. Образующая – длина $AC$. $S_{AC} = \pi r_C \cdot AC = \pi (a \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}) (a \tan \alpha) = \pi a^2 \frac{\sin^3\alpha}{\cos^2\alpha}$.
2. Вращение стороны $BC$ образует боковую поверхность усечённого конуса ($S_{BC}$). Радиусы его оснований – расстояния от точек $B$ и $C$ до оси вращения: $r_B = x_B$ и $r_C = x_C$. Образующая – длина $BC$. $S_{BC} = \pi (r_B + r_C) \cdot BC = \pi (\frac{a}{\cos \alpha} + a \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}) \cdot a = \frac{\pi a^2(1+\sin^2\alpha)}{\cos\alpha}$.
3. Вращение гипотенузы $AB$ образует круг ($S_{AB}$), так как точка $A$ лежит на оси вращения. Радиус этого круга равен длине $AB$. $S_{AB} = \pi (AB)^2 = \pi (\frac{a}{\cos \alpha})^2 = \frac{\pi a^2}{\cos^2\alpha}$.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме этих площадей: $S = S_{AC} + S_{BC} + S_{AB} = \pi a^2 \frac{\sin^3\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\pi a^2(1+\sin^2\alpha)}{\cos\alpha} + \frac{\pi a^2}{\cos^2\alpha}$.

Приведём всё к общему знаменателю $\cos^2\alpha$: $S = \frac{\pi a^2}{\cos^2\alpha} [\sin^3\alpha + (1+\sin^2\alpha)\cos\alpha + 1]$. $S = \frac{\pi a^2}{\cos^2\alpha} [1 + \cos\alpha + \sin^3\alpha + \sin^2\alpha\cos\alpha]$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{\cos^2\alpha} (1 + \cos\alpha + \sin^3\alpha + \sin^2\alpha\cos\alpha)$.