Номер 14, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 14

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Вершины треугольника со стороной 4 см и противолежащим ей углом $135^\circ$ лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 1 см. Найдите радиус шара.

2. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — $45^\circ$. Найдите радиус шара, если расстояние от его центра до плоскости трапеции равно $2\sqrt{7}$ см.

3. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 6)^2 = 36$ в точке $D(-5; -2; 10)$.

1.

Вершины треугольника лежат на поверхности шара, следовательно, они лежат на окружности, которая является сечением шара плоскостью треугольника. Радиус этой окружности, обозначим его $r$, является радиусом описанной около треугольника окружности.

Связь между радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием от центра шара до плоскости сечения $d$ выражается формулой, основанной на теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$.

По условию, расстояние от центра шара до плоскости треугольника $d = 1$ см.

Найдем радиус описанной окружности $r$ для треугольника, используя следствие из теоремы синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2r$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

По условию $a = 4$ см и $\alpha = 135^{\circ}$.

$r = \frac{a}{2\sin \alpha} = \frac{4}{2\sin 135^{\circ}} = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус шара $R$:

$R^2 = r^2 + d^2 = (2\sqrt{2})^2 + 1^2 = 8 + 1 = 9$.

$R = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

2.

Так как шар касается всех сторон трапеции, то в эту трапецию можно вписать окружность. Проекция центра шара на плоскость трапеции будет центром этой вписанной окружности.

Радиус шара $R$, радиус вписанной в трапецию окружности $r$ и расстояние от центра шара до плоскости трапеции $d$ связаны соотношением: $R^2 = r^2 + d^2$.

По условию, расстояние от центра шара до плоскости трапеции $d = 2\sqrt{7}$ см.

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: $r = \frac{h}{2}$.

Найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции ($c = 8$ см), одним из катетов — высота $h$, а прилежащий к высоте острый угол равен $45^{\circ}$.

Из этого прямоугольного треугольника:

$h = c \cdot \sin 45^{\circ} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Тогда радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь можем найти радиус шара $R$:

$R^2 = r^2 + d^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{7})^2 = (4 \cdot 2) + (4 \cdot 7) = 8 + 28 = 36$.

$R = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

3.

Уравнение сферы имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $C(x_0, y_0, z_0)$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус.

Из данного уравнения сферы $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 6)^2 = 36$ находим координаты ее центра $C(-3; 2; 6)$.

Плоскость, касающаяся сферы в точке $D$, перпендикулярна радиусу $CD$, проведенному в точку касания. Следовательно, вектор $\vec{CD}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к этой плоскости.

Найдем координаты вектора $\vec{CD}$, зная координаты точек $C(-3; 2; 6)$ и $D(-5; -2; 10)$:

$\vec{n} = \vec{CD} = (-5 - (-3); -2 - 2; 10 - 6) = (-2; -4; 4)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $D(x_D, y_D, z_D)$ с вектором нормали $\vec{n}(A, B, C)$, имеет вид:

$A(x - x_D) + B(y - y_D) + C(z - z_D) = 0$.

Подставим координаты точки $D(-5; -2; 10)$ и вектора нормали $\vec{n}(-2; -4; 4)$:

$-2(x - (-5)) - 4(y - (-2)) + 4(z - 10) = 0$.

$-2(x + 5) - 4(y + 2) + 4(z - 10) = 0$.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$-2x - 10 - 4y - 8 + 4z - 40 = 0$.

$-2x - 4y + 4z - 58 = 0$.

Разделим все члены уравнения на $-2$ для упрощения:

$x + 2y - 2z + 29 = 0$.

Ответ: $x + 2y - 2z + 29 = 0$.