Номер 21, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 21

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 4 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равносторонним треугольником. Найдите объём пирамиды.

2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 15 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 20 см и 8 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

3. Площадь основания пирамиды равна $36 \text{ см}^2$, а все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в неё шара равен 3 см.

1.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания. Основанием является квадрат со стороной $a = 4$ см. Его площадь равна:
$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Найдём высоту пирамиды. По условию, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота этой грани, проведённая к стороне основания, является высотой всей пирамиды.
Эта боковая грань — равносторонний треугольник со стороной, равной стороне основания, то есть 4 см. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, высота пирамиды $H$ равна:
$H = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Теперь можем вычислить объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{32\sqrt{3}}{3}$ см³.

2.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Из условия следует, что высота исходной (полной) пирамиды равна $H_{полн} = 15$ см, а сторона её основания $a_1 = 20$ см. Сторона верхнего основания усечённой пирамиды $a_2 = 8$ см.

1. Найдём площади оснований. Так как пирамида правильная четырёхугольная, её основания — квадраты.
Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 20^2 = 400$ см².
Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 8^2 = 64$ см².

2. Найдём высоту усечённой пирамиды $h$. Малая пирамида, отсечённая от исходной, подобна ей. Коэффициент подобия $k$ равен отношению сторон оснований:
$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия. Пусть $H_{отс}$ — высота отсечённой (малой) пирамиды.
$\frac{H_{отс}}{H_{полн}} = k \implies H_{отс} = H_{полн} \cdot k = 15 \cdot \frac{2}{5} = 6$ см.
Высота усечённой пирамиды $h$ — это разность высот полной и отсечённой пирамид:
$h = H_{полн} - H_{отс} = 15 - 6 = 9$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot (400 + \sqrt{400 \cdot 64} + 64) = 3 \cdot (400 + \sqrt{25600} + 64) = 3 \cdot (400 + 160 + 64) = 3 \cdot 624 = 1872$ см³.

Ответ: 1872 см³.

3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$. Площадь основания $S_{осн} = 36$ см² дана, нужно найти высоту $H$.

1. Так как все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha = 45^\circ$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$ и радиус этой окружности $r_{осн}$ связаны соотношением: $H = r_{осн} \cdot \tan(\alpha)$.
$H = r_{осн} \cdot \tan(45^\circ) = r_{осн} \cdot 1 = r_{осн}$. Таким образом, высота пирамиды равна радиусу вписанной в основание окружности.

2. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту $H$ и апофему (высоту боковой грани). Это прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности основания $r_{осн}$. Угол между апофемой и $r_{осн}$ равен $\alpha = 45^\circ$.
Центр вписанного в пирамиду шара лежит на её высоте. Расстояние от центра шара до плоскости основания и до любой боковой грани равно радиусу вписанного шара $r=3$ см.
В упомянутом осевом сечении биссектриса угла $\alpha$ отсекает на высоте $H$ отрезок, равный $r$. Из геометрии сечения получаем:
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{r_{осн}}$.
Найдём $\tan(\frac{45^\circ}{2}) = \tan(22.5^\circ)$. Используем формулу тангенса половинного угла $\tan(\frac{x}{2}) = \frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}$:
$\tan(22.5^\circ) = \frac{\sin(45^\circ)}{1+\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}-2}{4-2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2} = \sqrt{2}-1$.

3. Теперь найдём $r_{осн}$:
$r_{осн} = \frac{r}{\tan(22.5^\circ)} = \frac{3}{\sqrt{2}-1} = \frac{3(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{3(\sqrt{2}+1)}{2-1} = 3(\sqrt{2}+1)$ см.

4. Так как $H = r_{осн}$, то $H = 3(\sqrt{2}+1)$ см. Вычисляем объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3(\sqrt{2}+1) = 12 \cdot 3(\sqrt{2}+1) = 36(\sqrt{2}+1)$ см³.

Ответ: $36(\sqrt{2}+1)$ см³.