Номер 5, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 5

Умножение вектора на число. Гомотетия

1. Найдите координаты образа точки $M (21; -5; 20)$ при гомотетии с центром в точке $N (13; -1; -4)$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{3}{4}$.

2. Высота пирамиды равна 14 см. Через точку $K$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны $80 \text{ см}^2$ и $245 \text{ см}^2$. Найдите расстояние от точки $K$ до основания данной пирамиды.

3. Дан тетраэдр $DABC$. Медианы грани $BCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $P$ — середина ребра $AD$. Выразите вектор $\vec{OP}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

1. Пусть M' (x'; y'; z') — образ точки M (21; –5; 20) при гомотетии с центром в точке N (13; –1; –4) и коэффициентом $k = \frac{3}{4}$. По определению гомотетии, вектор $\vec{NM'}$ связан с вектором $\vec{NM}$ соотношением: $\vec{NM'} = k \cdot \vec{NM}$. Сначала найдем координаты вектора $\vec{NM}$: $\vec{NM} = (x_M - x_N; y_M - y_N; z_M - z_N) = (21 - 13; -5 - (-1); 20 - (-4)) = (8; -4; 24)$. Теперь найдем координаты вектора $\vec{NM'}$: $\vec{NM'} = \frac{3}{4} \cdot \vec{NM} = \frac{3}{4} \cdot (8; -4; 24) = (\frac{3}{4} \cdot 8; \frac{3}{4} \cdot (-4); \frac{3}{4} \cdot 24) = (6; -3; 18)$. Координаты вектора $\vec{NM'}$ также можно выразить через координаты точек N и M': $\vec{NM'} = (x' - x_N; y' - y_N; z' - z_N) = (x' - 13; y' - (-1); z' - (-4)) = (x' - 13; y' + 1; z' + 4)$. Приравнивая полученные выражения для координат вектора $\vec{NM'}$, получаем систему уравнений: $x' - 13 = 6 \implies x' = 19$ $y' + 1 = -3 \implies y' = -4$ $z' + 4 = 18 \implies z' = 14$ Таким образом, координаты образа точки M' равны (19; –4; 14).

Ответ: (19; –4; 14).

2. Пусть H — высота исходной пирамиды, S₁ — площадь ее основания. По условию, H = 14 см. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды подобную ей меньшую пирамиду. Образуется усеченная пирамида, площади оснований которой равны $S_1 = 245$ см² (основание исходной пирамиды) и $S_2 = 80$ см² (сечение, основание меньшей пирамиды). Пусть h — высота меньшей пирамиды, отсекаемой плоскостью. Отношение площадей оснований подобных пирамид равно квадрату отношения их высот: $\frac{S_2}{S_1} = (\frac{h}{H})^2$ Подставим известные значения: $\frac{80}{245} = (\frac{h}{14})^2$ Сократим дробь в левой части: $\frac{80}{245} = \frac{16 \cdot 5}{49 \cdot 5} = \frac{16}{49}$. Получаем уравнение: $\frac{16}{49} = (\frac{h}{14})^2$ Извлекая квадратный корень из обеих частей (высота — величина положительная), находим: $\frac{4}{7} = \frac{h}{14}$ Отсюда находим высоту h: $h = \frac{4}{7} \cdot 14 = 8$ см. Точка K лежит на высоте исходной пирамиды и принадлежит секущей плоскости. Расстояние от вершины исходной пирамиды до точки K равно высоте меньшей пирамиды, то есть h = 8 см. Искомое расстояние от точки K до основания данной пирамиды равно разности высоты всей пирамиды H и высоты меньшей пирамиды h: $d = H - h = 14 - 8 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

3. Для решения задачи введем систему координат с началом в точке A. Тогда положение любой точки X в пространстве можно задать радиус-вектором $\vec{AX}$. Векторы, через которые нужно выразить $\vec{OP}$, это $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$. Точка O является точкой пересечения медиан (центроидом) грани BCD. Ее радиус-вектор относительно точки А равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин этой грани: $\vec{AO} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3}$ Точка P — середина ребра AD. Ее радиус-вектор относительно точки А равен полусумме радиус-векторов точек A и D: $\vec{AP} = \frac{\vec{AA} + \vec{AD}}{2} = \frac{\vec{0} + \vec{AD}}{2} = \frac{1}{2}\vec{AD}$ Теперь выразим искомый вектор $\vec{OP}$ как разность радиус-векторов его конца и начала: $\vec{OP} = \vec{AP} - \vec{AO}$ Подставим найденные выражения для $\vec{AP}$ и $\vec{AO}$: $\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3}$ Приведем к общему знаменателю и упростим выражение: $\vec{OP} = \frac{3\vec{AD}}{6} - \frac{2(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD})}{6}$ $\vec{OP} = \frac{3\vec{AD} - 2\vec{AB} - 2\vec{AC} - 2\vec{AD}}{6}$ $\vec{OP} = \frac{-2\vec{AB} - 2\vec{AC} + (3-2)\vec{AD}}{6}$ $\vec{OP} = \frac{-2\vec{AB} - 2\vec{AC} + \vec{AD}}{6}$ $\vec{OP} = -\frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{1}{6}\vec{AD}$

Ответ: $\vec{OP} = -\frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{1}{6}\vec{AD}$.