Номер 10, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 10

Конус

1. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Образующая конуса равна 16 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого равна $270^\circ$. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен 6 см.

3. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса ($l$), а основанием — диаметр основания конуса ($d$). По условию, это сечение является прямоугольным треугольником. Так как он равнобедренный, то прямой угол находится при вершине конуса, а образующие являются катетами. Диаметр основания является гипотенузой.Дано: образующая $l = 16$ см.По теореме Пифагора для осевого сечения: $d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$.Отсюда диаметр $d = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см.Радиус основания конуса $r$ равен половине диаметра:$r = \frac{d}{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$.Подставим известные значения:$S_{полн} = \pi \cdot 8\sqrt{2} \cdot (8\sqrt{2} + 16) = \pi \cdot ( (8\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{2} \cdot 16 ) = \pi \cdot (64 \cdot 2 + 128\sqrt{2}) = \pi \cdot (128 + 128\sqrt{2}) = 128\pi(1 + \sqrt{2})$ см².
Ответ: $128\pi(1 + \sqrt{2})$ см².

2. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса ($l$), а длина дуги сектора ($L$) равна длине окружности основания конуса ($C$).Длина окружности основания конуса с радиусом $r = 6$ см вычисляется по формуле:$C = 2\pi r = 2\pi \cdot 6 = 12\pi$ см.Длина дуги сектора с радиусом $l$ и углом $\alpha = 270^\circ$ вычисляется по формуле:$L = \frac{2\pi l \cdot \alpha}{360^\circ}$.Так как $L = C$, мы можем приравнять эти два выражения:$\frac{2\pi l \cdot 270^\circ}{360^\circ} = 12\pi$.Сократим $2\pi$ в обеих частях уравнения:$\frac{l \cdot 270}{360} = 6$.Упростим дробь $\frac{270}{360} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$:$\frac{3}{4}l = 6$.Теперь найдем $l$:$l = 6 \cdot \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8$ см.
Ответ: 8 см.

3. При вращении треугольника вокруг прямой, содержащей одну из его сторон, образуется тело вращения. В данном случае вращение происходит вокруг наибольшей стороны (длиной 21 см). Тело вращения будет состоять из двух конусов, имеющих общее основание.Обозначим стороны треугольника: $a = 10$ см, $b = 17$ см, $c = 21$ см. Вращение происходит вокруг стороны $c$.Образующие этих конусов будут равны двум другим сторонам треугольника: $l_1 = a = 10$ см и $l_2 = b = 17$ см.Радиус общего основания конусов ($r$) равен высоте треугольника, опущенной на наибольшую сторону ($h_c$).Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов:$S_{тела} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.Чтобы найти радиус $r$, сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона.Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.Площадь треугольника $S_{\triangle}$:$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 49} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$ см².С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через высоту и основание: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} c \cdot h_c$.Отсюда найдем высоту $h_c$, которая является радиусом $r$:$84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h_c \implies h_c = \frac{84 \cdot 2}{21} = 4 \cdot 2 = 8$ см.Итак, $r = 8$ см.Теперь можем вычислить площадь поверхности тела вращения:$S_{тела} = \pi \cdot 8 \cdot (10 + 17) = \pi \cdot 8 \cdot 27 = 216\pi$ см².
Ответ: $216\pi$ см².