Номер 6, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 6

Скалярное произведение векторов

1. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} (-2; 3; 6) $ и $ \vec{b} (4; 1; – 2). $

2. Даны векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, $ |\vec{a}| = 4 $, $ |\vec{b}| = 3 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ $. Найдите:

1) $ (3\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot \vec{b} $

2) $ |3\vec{b} - 2\vec{a}| $

3. Дана прямая призма $ ABCDA_1B_1C_1D_1 $. Известно, что $ AB = AC = AA_1 $, $ \angle BAC = 90^\circ $. Найдите угол между прямыми $ B_1C $ и $ AB $.

1. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$
Для векторов $\vec{a}(-2; 3; 6)$ и $\vec{b}(4; 1; -2)$ найдем сначала их скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 6 \cdot (-2) = -8 + 3 - 12 = -17$.
Теперь найдем модули (длины) векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$.
Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\alpha) = \frac{-17}{7 \cdot \sqrt{21}} = -\frac{17}{7\sqrt{21}}$.
Ответ: $-\frac{17}{7\sqrt{21}}$.

2. Дано: $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=3$, угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.
Вначале вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, так как оно потребуется в обоих пунктах:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = 4 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.
Также полезно знать скалярные квадраты векторов: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = 4^2 = 16$ и $|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = 3^2 = 9$.

1) Найдем значение выражения $(3\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot \vec{b}$.
Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, раскроем скобки:
$(3\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot \vec{b} = 3(\vec{b} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3|\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
Подставим известные значения:
$3 \cdot 9 - 2 \cdot 6 = 27 - 12 = 15$.
Ответ: 15.

2) Найдем модуль вектора $|3\vec{b} - 2\vec{a}|$.
Модуль вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата. Найдем сначала квадрат модуля:
$|3\vec{b} - 2\vec{a}|^2 = (3\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot (3\vec{b} - 2\vec{a})$.
Раскроем скобки:
$(3\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot (3\vec{b} - 2\vec{a}) = 9(\vec{b} \cdot \vec{b}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{a} \cdot \vec{a})$.
Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), выражение можно упростить:
$9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{a}|^2$.
Подставим известные значения:
$9 \cdot 9 - 12 \cdot 6 + 4 \cdot 16 = 81 - 72 + 64 = 9 + 64 = 73$.
Мы нашли, что $|3\vec{b} - 2\vec{a}|^2 = 73$. Следовательно, сам модуль равен:
$|3\vec{b} - 2\vec{a}| = \sqrt{73}$.
Ответ: $\sqrt{73}$.

3. Угол между скрещивающимися прямыми находится как угол между их направляющими векторами. Для нахождения векторов введем прямоугольную систему координат.
Поместим начало координат в точку $A(0; 0; 0)$. Так как призма прямая и $\angle BAC = 90^\circ$, направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.
Пусть $AB = AC = AA_1 = a$. Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут:
$A(0; 0; 0)$
$B(a; 0; 0)$
$C(0; a; 0)$
$A_1(0; 0; a)$
Координаты точки $B_1$ получаются сдвигом точки $B$ на вектор $\vec{AA_1}(0;0;a)$, таким образом $B_1(a; 0; a)$.
Направляющим вектором для прямой $AB$ является вектор $\vec{AB}$:
$\vec{u} = \vec{AB} = (a-0; 0-0; 0-0) = (a; 0; 0)$.
Направляющим вектором для прямой $B_1C$ является вектор $\vec{B_1C}$:
$\vec{v} = \vec{B_1C} = (0-a; a-0; 0-a) = (-a; a; -a)$.
Косинус угла $\phi$ между прямыми вычисляется по формуле:
$\cos(\phi) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot (-a) + 0 \cdot a + 0 \cdot (-a) = -a^2$.
Найдем модули векторов:
$|\vec{u}| = |\vec{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$.
$|\vec{v}| = |\vec{B_1C}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
Теперь вычислим косинус угла:
$\cos(\phi) = \frac{|-a^2|}{a \cdot (a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, искомый угол $\phi$ равен $\arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})$.
Ответ: $\arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})$.