Номер 12, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 12

Комбинации конуса и пирамиды

1. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны 16 см и 30 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 18 см и 8 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

3. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона большего основания усечённой пирамиды равна 18 см, высота — $2\sqrt{3}$ см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен 30°. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

1.

Поскольку конус описан около пирамиды, его основанием является окружность, описанная вокруг основания пирамиды (прямоугольника), а их вершины совпадают.Так как все боковые ребра пирамиды образуют одинаковый угол с плоскостью основания, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $a = 16$ см и $b = 30$ см. Центром описанной окружности для прямоугольника является точка пересечения его диагоналей.

Радиус $R$ основания конуса равен половине диагонали $d$ прямоугольника. Найдем диагональ по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34$ см.

Следовательно, радиус основания конуса:
$R = \frac{d}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см.

Высоту конуса $H$ найдем из прямоугольного треугольника, который образован высотой пирамиды, боковым ребром и проекцией этого ребра на основание (эта проекция равна радиусу $R$). Угол между боковым ребром и плоскостью основания по условию равен $60^\circ$.
$H = R \cdot \tan(60^\circ) = 17 \cdot \sqrt{3} = 17\sqrt{3}$ см.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ — это площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно диаметру конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса $H$.
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$
$S_{сеч} = 17 \cdot 17\sqrt{3} = 289\sqrt{3}$ см².

Ответ: $289\sqrt{3}$ см².

2.

Так как конус вписан в пирамиду, его основанием является окружность, вписанная в основание пирамиды (равнобокую трапецию), а их вершины совпадают.Поскольку все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание.

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями $a = 18$ см и $b = 8$ см. В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть $c$ — длина боковой стороны трапеции. Тогда $a + b = 2c$.
$c = \frac{a+b}{2} = \frac{18+8}{2} = 13$ см.

Радиус $r$ вписанной в трапецию окружности (и основания конуса) равен половине высоты трапеции $h_{трап}$. Найдем высоту трапеции из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h_{трап}$ и отрезком на большем основании, равным $\frac{a-b}{2}$.
$\frac{a-b}{2} = \frac{18-8}{2} = 5$ см.
По теореме Пифагора:
$h_{трап} = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Радиус основания конуса:
$r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Высоту конуса $H$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани. Угол между боковой гранью и плоскостью основания по условию равен $30^\circ$.
$H = r \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ — это площадь равнобедренного треугольника с основанием $2r$ и высотой $H$.
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$
$S_{сеч} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см².

Ответ: $12\sqrt{3}$ см².

3.

Поскольку правильная усеченная треугольная пирамида описана около усеченного конуса, основания конуса являются окружностями, вписанными в основания пирамиды (правильные треугольники). Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + r)L$, где $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований, а $L$ — образующая конуса.

Радиус $R$ большего основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a_1 = 18$ см.
$R = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим сечение, проходящее через высоту усеченной пирамиды $H$ и апофемы оснований. Это сечение содержит прямоугольную трапецию с высотой $H = 2\sqrt{3}$ см, параллельными сторонами, равными радиусам $R$ и $r$. Двугранный угол при ребре большего основания $30^\circ$ — это угол между апофемой боковой грани пирамиды и плоскостью большего основания.
Из этой трапеции имеем соотношение: $\tan(30^\circ) = \frac{H}{R-r}$.
$R-r = \frac{H}{\tan(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ см.

Теперь найдем радиус меньшего основания $r$:
$r = R - 6 = 3\sqrt{3} - 6$ см.

Образующая конуса $L$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $H$ и $(R-r)$.
$L = \sqrt{H^2 + (R-r)^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности усеченного конуса:
$S_{бок} = \pi (R+r)L = \pi (3\sqrt{3} + (3\sqrt{3}-6)) \cdot 4\sqrt{3}$
$S_{бок} = \pi (6\sqrt{3}-6) \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi (\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)) = 24\pi (3-\sqrt{3})$ см².

Ответ: $24\pi(3 - \sqrt{3})$ см².