Страница 38 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 12

Комбинации конуса и пирамиды

1. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны 16 см и 30 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 18 см и 8 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

3. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона большего основания усечённой пирамиды равна 18 см, высота — $2\sqrt{3}$ см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен 30°. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

1.

Поскольку конус описан около пирамиды, его основанием является окружность, описанная вокруг основания пирамиды (прямоугольника), а их вершины совпадают.Так как все боковые ребра пирамиды образуют одинаковый угол с плоскостью основания, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $a = 16$ см и $b = 30$ см. Центром описанной окружности для прямоугольника является точка пересечения его диагоналей.

Радиус $R$ основания конуса равен половине диагонали $d$ прямоугольника. Найдем диагональ по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34$ см.

Следовательно, радиус основания конуса:
$R = \frac{d}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см.

Высоту конуса $H$ найдем из прямоугольного треугольника, который образован высотой пирамиды, боковым ребром и проекцией этого ребра на основание (эта проекция равна радиусу $R$). Угол между боковым ребром и плоскостью основания по условию равен $60^\circ$.
$H = R \cdot \tan(60^\circ) = 17 \cdot \sqrt{3} = 17\sqrt{3}$ см.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ — это площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно диаметру конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса $H$.
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$
$S_{сеч} = 17 \cdot 17\sqrt{3} = 289\sqrt{3}$ см².

Ответ: $289\sqrt{3}$ см².

2.

Так как конус вписан в пирамиду, его основанием является окружность, вписанная в основание пирамиды (равнобокую трапецию), а их вершины совпадают.Поскольку все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание.

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями $a = 18$ см и $b = 8$ см. В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть $c$ — длина боковой стороны трапеции. Тогда $a + b = 2c$.
$c = \frac{a+b}{2} = \frac{18+8}{2} = 13$ см.

Радиус $r$ вписанной в трапецию окружности (и основания конуса) равен половине высоты трапеции $h_{трап}$. Найдем высоту трапеции из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h_{трап}$ и отрезком на большем основании, равным $\frac{a-b}{2}$.
$\frac{a-b}{2} = \frac{18-8}{2} = 5$ см.
По теореме Пифагора:
$h_{трап} = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Радиус основания конуса:
$r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Высоту конуса $H$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани. Угол между боковой гранью и плоскостью основания по условию равен $30^\circ$.
$H = r \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ — это площадь равнобедренного треугольника с основанием $2r$ и высотой $H$.
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$
$S_{сеч} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см².

Ответ: $12\sqrt{3}$ см².

3.

Поскольку правильная усеченная треугольная пирамида описана около усеченного конуса, основания конуса являются окружностями, вписанными в основания пирамиды (правильные треугольники). Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + r)L$, где $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований, а $L$ — образующая конуса.

Радиус $R$ большего основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a_1 = 18$ см.
$R = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим сечение, проходящее через высоту усеченной пирамиды $H$ и апофемы оснований. Это сечение содержит прямоугольную трапецию с высотой $H = 2\sqrt{3}$ см, параллельными сторонами, равными радиусам $R$ и $r$. Двугранный угол при ребре большего основания $30^\circ$ — это угол между апофемой боковой грани пирамиды и плоскостью большего основания.
Из этой трапеции имеем соотношение: $\tan(30^\circ) = \frac{H}{R-r}$.
$R-r = \frac{H}{\tan(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ см.

Теперь найдем радиус меньшего основания $r$:
$r = R - 6 = 3\sqrt{3} - 6$ см.

Образующая конуса $L$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $H$ и $(R-r)$.
$L = \sqrt{H^2 + (R-r)^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности усеченного конуса:
$S_{бок} = \pi (R+r)L = \pi (3\sqrt{3} + (3\sqrt{3}-6)) \cdot 4\sqrt{3}$
$S_{бок} = \pi (6\sqrt{3}-6) \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi (\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)) = 24\pi (3-\sqrt{3})$ см².

Ответ: $24\pi(3 - \sqrt{3})$ см².

Самостоятельная работа № 13

Сфера и шар. Уравнение сферы

1. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок $MK$, если $M(-2; 1; -3)$, $K(6; -5; 3)$.

2. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2z + 5 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

3. Рёбра $DA$, $DC$ и $DD_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 1 см, 5 см и 2 см. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $D$, $C$, $A_1$ и середину ребра $BB_1$.

1.

Уравнение сферы с центром в точке $C(a; b; c)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.

1. Найдём координаты центра сферы, который является серединой диаметра $MK$.

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$a = \frac{x_M + x_K}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$b = \frac{y_M + y_K}{2} = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$c = \frac{z_M + z_K}{2} = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, центр сферы — точка $C(2; -2; 0)$.

2. Найдём радиус сферы $R$. Радиус равен половине длины диаметра $MK$. Сначала найдём квадрат длины диаметра:

$MK^2 = (x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2 + (z_K - z_M)^2$

$MK^2 = (6 - (-2))^2 + (-5 - 1)^2 + (3 - (-3))^2 = 8^2 + (-6)^2 + 6^2 = 64 + 36 + 36 = 136$.

Квадрат радиуса $R^2$ равен четверти квадрата диаметра:

$R^2 = \frac{MK^2}{4} = \frac{136}{4} = 34$.

3. Подставим координаты центра $C(2; -2; 0)$ и значение $R^2 = 34$ в каноническое уравнение сферы:

$(x-2)^2 + (y-(-2))^2 + (z-0)^2 = 34$

$(x-2)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 34$

Ответ: $(x-2)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 34$.

2.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, нужно привести его к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ с помощью метода выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2z + 5 = 0$.

1. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(x^2 + 6x) + y^2 + (z^2 - 2z) + 5 = 0$

2. Выделим полные квадраты для каждой группы:

Для $x$: $x^2 + 6x = (x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2) - 3^2 = (x+3)^2 - 9$.

Для $y$: $y^2 = (y-0)^2$.

Для $z$: $z^2 - 2z = (z^2 - 2 \cdot 1 \cdot z + 1^2) - 1^2 = (z-1)^2 - 1$.

3. Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(x+3)^2 - 9 + (y-0)^2 + (z-1)^2 - 1 + 5 = 0$

4. Перенесём свободные члены в правую часть:

$(x+3)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 9 + 1 - 5$

$(x+3)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 5$

Мы привели уравнение к каноническому виду. Так как правая часть $R^2=5$ положительна, это уравнение действительно является уравнением сферы.

Из полученного уравнения определяем координаты центра $(a; b; c)$ и радиус $R$:

Центр сферы: $(-3; 0; 1)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 5$, следовательно, радиус $R = \sqrt{5}$.

Ответ: Уравнение является уравнением сферы с центром в точке $(-3; 0; 1)$ и радиусом $R = \sqrt{5}$.

3.

1. Введём прямоугольную систему координат. Удобно поместить начало координат в вершину $D$, направив оси вдоль рёбер прямоугольного параллелепипеда:

Ось $Ox$ — вдоль $DA$.

Ось $Oy$ — вдоль $DC$.

Ось $Oz$ — вдоль $DD_1$.

2. Определим координаты четырёх точек, через которые проходит сфера, исходя из длин рёбер: $DA=1$, $DC=5$, $DD_1=2$.

• $D$ — начало координат: $D(0; 0; 0)$.
• $C$ лежит на оси $Oy$: $C(0; 5; 0)$.
• $A_1$ получается смещением точки $A(1;0;0)$ вдоль оси $Oz$ на $DD_1=2$: $A_1(1; 0; 2)$.
• Найдём координаты середины ребра $BB_1$. Вершины имеют координаты $B(1; 5; 0)$ и $B_1(1; 5; 2)$. Середина ребра, назовём её $M$, имеет координаты: $M(\frac{1+1}{2}; \frac{5+5}{2}; \frac{0+2}{2}) = M(1; 5; 1)$.

3. Пусть центр искомой сферы — точка $O(a; b; c)$, а её радиус — $R$. Уравнение сферы имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.

Все четыре точки $D$, $C$, $A_1$, $M$ лежат на сфере, значит, они равноудалены от её центра. Приравняем квадраты расстояний от центра до этих точек:

$OD^2 = OC^2 = OA_1^2 = OM^2 = R^2$

Запишем эти равенства в координатах:

$a^2 + b^2 + c^2 = (0-a)^2 + (5-b)^2 + (0-c)^2 = (1-a)^2 + (0-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (5-b)^2 + (1-c)^2 = R^2$

4. Решим систему уравнений, чтобы найти $a, b, c$.

Из равенства $OD^2 = OC^2$:

$a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + (5-b)^2 + c^2 \Rightarrow b^2 = (5-b)^2 \Rightarrow b^2 = 25 - 10b + b^2 \Rightarrow 10b = 25 \Rightarrow b = 2.5$.

Из равенства $OC^2 = OM^2$ (это удобно, так как у них совпадает $y$-координата и множитель $(5-b)^2$ сократится):

$a^2 + (5-b)^2 + c^2 = (1-a)^2 + (5-b)^2 + (1-c)^2$

$a^2 + c^2 = (1-a)^2 + (1-c)^2 \Rightarrow a^2 + c^2 = 1-2a+a^2 + 1-2c+c^2 \Rightarrow 0 = 2-2a-2c \Rightarrow a+c=1$. (I)

Из равенства $OD^2 = OA_1^2$ (удобно, так как совпадает $y$-координата и множитель $b^2$ сократится):

$a^2 + b^2 + c^2 = (1-a)^2 + b^2 + (2-c)^2$

$a^2 + c^2 = (1-a)^2 + (2-c)^2 \Rightarrow a^2 + c^2 = 1-2a+a^2 + 4-4c+c^2 \Rightarrow 0 = 5-2a-4c \Rightarrow 2a+4c=5$. (II)

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a+c=1 \\ 2a+4c=5 \end{cases}$

Из первого уравнения выражаем $a = 1-c$ и подставляем во второе:

$2(1-c) + 4c = 5 \Rightarrow 2 - 2c + 4c = 5 \Rightarrow 2c = 3 \Rightarrow c = 1.5$.

Находим $a$: $a = 1 - 1.5 = -0.5$.

5. Теперь найдём радиус сферы $R$.

$R^2 = OD^2 = a^2 + b^2 + c^2 = (-0.5)^2 + (2.5)^2 + (1.5)^2 = 0.25 + 6.25 + 2.25 = 8.75$.

$R = \sqrt{8.75} = \sqrt{\frac{875}{100}} = \sqrt{\frac{35 \cdot 25}{100}} = \frac{5\sqrt{35}}{10} = \frac{\sqrt{35}}{2}$.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{35}}{2}$ см.