Страница 34 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 4

Самостоятельная работа № 1

Декартовы координаты точки в пространстве

1. Точка $N$ принадлежит отрезку $AB$. Известно, что $B(3; -4; 1)$, $N(-2; 1; -4)$. Найдите координаты точки $A$, если:

1) $AN = NB$;

2) $AN : NB = 2 : 5$.

2. Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек $A(-2; -3; -1)$ и $B(-1; -2; 4)$.

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$. Известно, что $AB = 8$ см, $AA_1 = 12$ см. Найдите расстояние от точки $D_1$ до центроида тетраэдра $AB_1BC$.

1) AN = NB;

Поскольку точка N принадлежит отрезку AB и AN = NB, точка N является серединой отрезка AB. Координаты точки A $(x_A, y_A, z_A)$ можно найти, используя формулы координат середины отрезка:
$x_N = \frac{x_A + x_B}{2} \implies x_A = 2x_N - x_B$
$y_N = \frac{y_A + y_B}{2} \implies y_A = 2y_N - y_B$
$z_N = \frac{z_A + z_B}{2} \implies z_A = 2z_N - z_B$
Подставим известные координаты точек B(3; -4; 1) и N(-2; 1; -4):
$x_A = 2 \cdot (-2) - 3 = -4 - 3 = -7$
$y_A = 2 \cdot 1 - (-4) = 2 + 4 = 6$
$z_A = 2 \cdot (-4) - 1 = -8 - 1 = -9$
Таким образом, координаты точки A: (-7; 6; -9).
Ответ: A(-7; 6; -9)

2) AN : NB = 2 : 5;

Точка N делит отрезок AB в отношении 2:5, считая от точки A. Координаты точки N выражаются через координаты точек A и B следующим образом:
$x_N = \frac{5x_A + 2x_B}{2+5}$
$y_N = \frac{5y_A + 2y_B}{2+5}$
$z_N = \frac{5z_A + 2z_B}{2+5}$
Выразим из этих формул координаты точки A:
$7x_N = 5x_A + 2x_B \implies 5x_A = 7x_N - 2x_B \implies x_A = \frac{7x_N - 2x_B}{5}$
Аналогично для других координат:
$y_A = \frac{7y_N - 2y_B}{5}$
$z_A = \frac{7z_N - 2z_B}{5}$
Подставим известные координаты точек B(3; -4; 1) и N(-2; 1; -4):
$x_A = \frac{7 \cdot (-2) - 2 \cdot 3}{5} = \frac{-14 - 6}{5} = \frac{-20}{5} = -4$
$y_A = \frac{7 \cdot 1 - 2 \cdot (-4)}{5} = \frac{7 + 8}{5} = \frac{15}{5} = 3$
$z_A = \frac{7 \cdot (-4) - 2 \cdot 1}{5} = \frac{-28 - 2}{5} = \frac{-30}{5} = -6$
Таким образом, координаты точки A: (-4; 3; -6).
Ответ: A(-4; 3; -6)

2.

Пусть искомая точка M принадлежит оси ординат (оси OY). Тогда ее координаты равны (0; y; 0). Расстояние от точки M до точки A(-2; -3; -1) равно расстоянию от M до B(-1; -2; 4), то есть MA = MB. Удобнее использовать равенство квадратов расстояний: $MA^2 = MB^2$.
Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.
Найдем квадрат расстояния $MA^2$:
$MA^2 = (0 - (-2))^2 + (y - (-3))^2 + (0 - (-1))^2 = 2^2 + (y+3)^2 + 1^2 = 4 + y^2 + 6y + 9 + 1 = y^2 + 6y + 14$.
Найдем квадрат расстояния $MB^2$:
$MB^2 = (0 - (-1))^2 + (y - (-2))^2 + (0 - 4)^2 = 1^2 + (y+2)^2 + (-4)^2 = 1 + y^2 + 4y + 4 + 16 = y^2 + 4y + 21$.
Приравняем полученные выражения:
$y^2 + 6y + 14 = y^2 + 4y + 21$
$6y - 4y = 21 - 14$
$2y = 7$
$y = 3.5$
Следовательно, искомая точка имеет координаты (0; 3.5; 0).
Ответ: (0; 3.5; 0)

3.

Введем систему координат. Поместим вершину A в начало координат (0; 0; 0). Направим ось OX вдоль ребра AD, ось OY вдоль ребра AB, а ось OZ вдоль ребра $AA_1$.
Поскольку основание ABCD - квадрат со стороной AB = 8 см, а высота $AA_1 = 12$ см, координаты вершин будут следующими:
A(0; 0; 0)
B(0; 8; 0)
C(8; 8; 0)
D(8; 0; 0)
$A_1$(0; 0; 12)
$B_1$(0; 8; 12)
$D_1$(8; 0; 12)
Найдем координаты центроида M тетраэдра $AB_1BC$. Координаты центроида - это среднее арифметическое координат его вершин:
$x_M = \frac{x_A + x_{B_1} + x_B + x_C}{4} = \frac{0 + 0 + 0 + 8}{4} = 2$
$y_M = \frac{y_A + y_{B_1} + y_B + y_C}{4} = \frac{0 + 8 + 8 + 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$
$z_M = \frac{z_A + z_{B_1} + z_B + z_C}{4} = \frac{0 + 12 + 0 + 0}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Итак, центроид M имеет координаты (2; 6; 3).
Теперь найдем расстояние от точки $D_1$(8; 0; 12) до точки M(2; 6; 3) по формуле расстояния между двумя точками:
$d = \sqrt{(x_{D_1} - x_M)^2 + (y_{D_1} - y_M)^2 + (z_{D_1} - z_M)^2}$
$d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (0 - 6)^2 + (12 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 9^2}$
$d = \sqrt{36 + 36 + 81} = \sqrt{153}$
Упростим корень: $153 = 9 \cdot 17$.
$d = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$ см.
Ответ: $3\sqrt{17}$ см

Самостоятельная работа № 2

Векторы в пространстве

1. Найдите точку $D$, являющующуюся прообразом точки $D_1 (3; 1; -4)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{d} (-1; 2; -5)$. Найдите модуль вектора $\vec{D_1 D}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (2; 3; 5)$, $B (1; 4; -2)$ и $C (-1; -7; -3)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $D$.

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На отрезке $AB_1$ отметили точку $E$. Докажите, что векторы $CE$, $CB_1$ и $C_1A_1$ являются компланарными.

1.

Координаты точки $D(x_D; y_D; z_D)$, являющейся образом точки $D_1(x_1; y_1; z_1)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{d}(d_x; d_y; d_z)$, находятся путем сложения соответствующих координат точки и вектора:

$x_D = x_1 + d_x = 3 + (-1) = 2$
$y_D = y_1 + d_y = 1 + 2 = 3$
$z_D = z_1 + d_z = -4 + (-5) = -9$

Таким образом, координаты точки $D$ — это $(2; 3; -9)$.

Вектор, на который был выполнен перенос из точки $D_1$ в точку $D$, — это $\vec{D_1D}$. По условию задачи, этот перенос был на вектор $\vec{d}$, следовательно, $\vec{D_1D} = \vec{d}(-1; 2; -5)$.

Модуль (длина) вектора $\vec{D_1D}$ равен модулю вектора $\vec{d}$. Модуль вектора с координатами $(a; b; c)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

$|\vec{D_1D}| = |\vec{d}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$.

Ответ: $D(2; 3; -9)$, $|\vec{D_1D}| = \sqrt{30}$.

2.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Пусть искомая вершина $D$ имеет координаты $(x; y; z)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$ как разность координат его конца $D(x; y; z)$ и начала $A(2; 3; 5)$:
$\vec{AD} = (x - 2; y - 3; z - 5)$.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$ как разность координат его конца $C(-1; -7; -3)$ и начала $B(1; 4; -2)$:
$\vec{BC} = (-1 - 1; -7 - 4; -3 - (-2)) = (-2; -11; -1)$.

Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, их соответствующие координаты должны быть равны. Составим и решим систему уравнений:
$x - 2 = -2 \implies x = 0$
$y - 3 = -11 \implies y = -8$
$z - 5 = -1 \implies z = 4$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(0; -8; 4)$.

Ответ: $D(0; -8; 4)$.

3.

Три вектора являются компланарными, если один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других. Докажем, что вектор $\vec{CE}$ можно представить в виде $\vec{CE} = x \cdot \vec{CB_1} + y \cdot \vec{C_1A_1}$ для некоторых скалярных коэффициентов $x$ и $y$.

Введем базисные векторы с началом в точке $A$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим векторы $\vec{CE}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{C_1A_1}$ через базис $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Для этого сначала определим радиус-векторы ключевых точек из начала $A$:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$
$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{AA_1} = \vec{c}$

Точка $E$ лежит на отрезке $AB_1$, значит, существует такое число $k \in [0, 1]$, что $\vec{AE} = k \cdot \vec{AB_1} = k(\vec{a} + \vec{c})$.

Теперь найдем выражения для искомых векторов:
$\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC} = k(\vec{a} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = (k-1)\vec{a} - \vec{b} + k\vec{c}$
$\vec{CB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AC} = (\vec{a} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{c} - \vec{b}$
$\vec{C_1A_1} = \vec{AA_1} - \vec{AC_1} = \vec{c} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -\vec{a} - \vec{b}$

Подставим полученные выражения в уравнение для проверки компланарности $\vec{CE} = x \cdot \vec{CB_1} + y \cdot \vec{C_1A_1}$:
$(k-1)\vec{a} - \vec{b} + k\vec{c} = x(\vec{c} - \vec{b}) + y(-\vec{a} - \vec{b})$
$(k-1)\vec{a} - 1\vec{b} + k\vec{c} = -y\vec{a} - (x + y)\vec{b} + x\vec{c}$

Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ не компланарны (линейно независимы), то равенство векторов возможно только при равенстве их соответствующих коэффициентов:
$\begin{cases} k-1 = -y \\ -1 = -x - y \\ k = x \end{cases}$

Решим данную систему. Из первого и третьего уравнений находим $y = 1-k$ и $x = k$. Подставим эти значения во второе уравнение для проверки:
$-1 = -(k) - (1-k) \implies -1 = -k - 1 + k \implies -1 = -1$

Полученное тождество означает, что система имеет решение при любом значении $k \in [0, 1]$. Таким образом, для любого положения точки $E$ на отрезке $AB_1$ вектор $\vec{CE}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{CB_1}$ и $\vec{C_1A_1}$. Это по определению означает, что векторы $\vec{CE}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{C_1A_1}$ компланарны.

Ответ: Доказано, что данные векторы являются компланарными.

Самостоятельная работа № 3

Сложение и вычитание векторов

1. Даны векторы $\vec{a}$ (-4; 2; 3) и $\vec{b}$ (1; 4; -5). Найдите:

1) координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$;

2) координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$;

3) $|\vec{a} - \vec{b}|$.

2. Упростите выражение $\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB}$.

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{DB}$ через векторы $\vec{CC_1}$, $\vec{CD}$ и $\vec{CB_1}$.

1) координаты вектора $\vec{a}+\vec{b}$
Для данных векторов $\vec{a}(-4; 2; 3)$ и $\vec{b}(1; 4; -5)$ координаты их суммы находятся путем сложения соответствующих координат:
$\vec{a}+\vec{b} = (-4 + 1; 2 + 4; 3 + (-5)) = (-3; 6; -2)$.
Ответ: $(-3; 6; -2)$.

2) координаты вектора $\vec{a}-\vec{b}$
Координаты разности векторов находятся путем вычитания соответствующих координат вектора $\vec{b}$ из координат вектора $\vec{a}$:
$\vec{a}-\vec{b} = (-4 - 1; 2 - 4; 3 - (-5)) = (-5; -2; 8)$.
Ответ: $(-5; -2; 8)$.

3) $|\vec{a}-\vec{b}|$
Модуль (длина) вектора вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат. Координаты вектора $\vec{a}-\vec{b}$ найдены в предыдущем пункте: $(-5; -2; 8)$.
$|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 4 + 64} = \sqrt{93}$.
Ответ: $\sqrt{93}$.

2.
Для упрощения векторного выражения $\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB}$ воспользуемся правилами действий над векторами. Сгруппируем векторы с общими начальными точками:
$(\vec{AB} - \vec{AC}) + (\vec{DE} - \vec{DF}) - \vec{FB}$.
Применяем правило вычитания векторов, отложенных от одной точки ($\vec{XY} - \vec{XZ} = \vec{ZY}$):
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
$\vec{DE} - \vec{DF} = \vec{FE}$.
Подставим результаты в выражение:
$\vec{CB} + \vec{FE} - \vec{FB}$.
Вычитание вектора эквивалентно прибавлению противоположного вектора: $- \vec{FB} = \vec{BF}$.
$\vec{CB} + \vec{FE} + \vec{BF}$.
Перегруппируем слагаемые, чтобы применить правило треугольника для последовательного сложения векторов ($\vec{XY}+\vec{YZ}=\vec{XZ}$):
$(\vec{CB} + \vec{BF}) + \vec{FE} = \vec{CF} + \vec{FE} = \vec{CE}$.
Ответ: $\vec{CE}$.

3.
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ необходимо выразить вектор $\vec{DB}$ через векторы $\vec{CC_1}$, $\vec{CD}$ и $\vec{CB_1}$.
Разложим искомый вектор $\vec{DB}$ по правилу треугольника:
$\vec{DB} = \vec{DC} + \vec{CB}$.
Вектор $\vec{DC}$ является противоположным вектору $\vec{CD}$, следовательно, $\vec{DC} = -\vec{CD}$.
Теперь выразим вектор $\vec{CB}$ через заданные векторы. Рассмотрим треугольник $CBB_1$. По правилу сложения векторов:
$\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{BB_1}$.
В параллелепипеде боковые ребра параллельны и равны, поэтому векторы, их задающие, равны: $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.
Заменяем $\vec{BB_1}$ на $\vec{CC_1}$ в предыдущем равенстве:
$\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{CC_1}$.
Из этого соотношения выражаем $\vec{CB}$:
$\vec{CB} = \vec{CB_1} - \vec{CC_1}$.
Подставляем найденные выражения для $\vec{DC}$ и $\vec{CB}$ в исходное разложение для $\vec{DB}$:
$\vec{DB} = (-\vec{CD}) + (\vec{CB_1} - \vec{CC_1})$.
$\vec{DB} = \vec{CB_1} - \vec{CD} - \vec{CC_1}$.
Ответ: $\vec{DB} = \vec{CB_1} - \vec{CD} - \vec{CC_1}$.