Страница 28 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 12

Комбинации конуса и пирамиды

1. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна $2\sqrt{6}$ см и образует с диагональю угол $30^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 10 см, а одно из оснований — 4 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

3. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна 6 см, апофема — 4 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

1. Основанием пирамиды является прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$, а диагональ — $d$. По условию, одна из сторон равна $a = 2\sqrt{6}$ см и образует с диагональю угол $\alpha = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, можно найти диагональ:$d = \frac{a}{\cos \alpha} = \frac{2\sqrt{6}}{\cos 30^\circ} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}/2} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{2}$ см.Конус описан около пирамиды, следовательно, его основание — это окружность, описанная около прямоугольника. Радиус такой окружности $R$ равен половине диагонали прямоугольника:$R = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.Это радиус основания конуса.Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\beta = 45^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания. Высота пирамиды $H$ (которая также является высотой конуса) и радиус описанной окружности $R$ связаны соотношением в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и боковым ребром:$H = R \cdot \tan \beta = 2\sqrt{2} \cdot \tan 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$ см.Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $2R$, а высота равна высоте конуса $H$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.Подставим найденные значения $R$ и $H$:$S_{сеч} = 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$ см².

Ответ: 8 см².

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. Пусть ее основания равны $a$ и $b$, а боковая сторона — $c=10$ см. Одно из оснований, пусть $b$, равно 4 см.В данную пирамиду вписан конус. Это возможно, только если в основание пирамиды (трапецию) можно вписать окружность. Условие для вписанной в равнобокую трапецию окружности: сумма оснований равна сумме боковых сторон, то есть $a+b = 2c$.Подставим известные значения: $a+4 = 2 \cdot 10$, откуда $a = 20-4=16$ см.Итак, основания трапеции равны 16 см и 4 см.Радиус вписанной в трапецию окружности $r$ (который является радиусом основания конуса) равен половине высоты трапеции $h_{трап}$. Найдем высоту трапеции из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h_{трап}$ и отрезком на большем основании, равным $\frac{a-b}{2}$:$h_{трап} = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 - \left(\frac{16-4}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$ см.Радиус основания конуса: $r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $\gamma = 60^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности, а высота пирамиды $H$ (которая является и высотой конуса) связана с радиусом вписанной окружности $r$ соотношением:$H = r \cdot \tan \gamma = 4 \cdot \tan 60^\circ = 4\sqrt{3}$ см.Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и высотой $H$. Его площадь $S_{сеч}$ равна:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$.Подставим найденные значения $r$ и $H$:$S_{сеч} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².

3. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Это означает, что конус вписан в пирамиду. Основания пирамиды — правильные треугольники, а основания конуса — окружности, вписанные в эти треугольники.Боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды. Образующая конуса, лежащая в плоскости апофемы пирамиды, совпадает с этой апофемой. Таким образом, образующая усечённого конуса $l$ равна апофеме усечённой пирамиды, $l=A=4$ см.Найдём радиусы оснований конуса $r_1$ (большего) и $r_2$ (меньшего). Они равны радиусам окружностей, вписанных в основания-треугольники.Сторона меньшего основания пирамиды $a_2 = 6$ см. Радиус вписанной в него окружности:$r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.Двугранный угол при ребре большего основания равен $60^\circ$. Этот угол образуется между апофемой пирамиды $A$ и радиусом $r_1$ вписанной окружности большего основания. Рассмотрим сечение, проходящее через высоту усечённой пирамиды и её апофему. Это прямоугольная трапеция, у которой одна боковая сторона — высота $H$, другая — апофема $A=4$, а основания равны $r_1$ и $r_2$. Угол между апофемой $A$ и основанием $r_1$ равен $60^\circ$.Из этой трапеции находим разность радиусов:$r_1 - r_2 = A \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.Теперь можем найти радиус большего основания:$r_1 = r_2 + 2 = \sqrt{3} + 2$ см.Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$.Подставим найденные значения:$S_{бок} = \pi ((\sqrt{3}+2) + \sqrt{3}) \cdot 4 = \pi (2\sqrt{3} + 2) \cdot 4 = 8\pi(\sqrt{3}+1)$ см².

Ответ: $8\pi(\sqrt{3}+1)$ см².

Самостоятельная работа № 13

Сфера и шар. Уравнение сферы

1. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок EF, если E (−1; 4; −3), F (1; −2; −5).

2. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8y + 11 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

3. Рёбра CB, CD и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 1 см, 3 см и 4 см. Найдите радиус сферы, проходящей через точки C, B, $D_1$ и середину ребра $AA_1$.

1.

Уравнение сферы с центром в точке $O(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

1. Найдём координаты центра сферы. Центр сферы является серединой её диаметра $EF$. Найдём координаты точки $O$ как середины отрезка с концами в точках $E(-1; 4; -3)$ и $F(1; -2; -5)$:

$x_0 = \frac{-1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_0 = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_0 = \frac{-3 + (-5)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, центр сферы — точка $O(0; 1; -4)$.

2. Найдём радиус сферы. Радиус $R$ равен половине длины диаметра $EF$. Сначала найдём квадрат длины диаметра:

$EF^2 = (1 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2 + (-5 - (-3))^2 = 2^2 + (-6)^2 + (-2)^2 = 4 + 36 + 4 = 44$

Квадрат радиуса равен четверти квадрата диаметра:

$R^2 = \frac{EF^2}{4} = \frac{44}{4} = 11$

3. Подставим координаты центра $O(0; 1; -4)$ и значение $R^2 = 11$ в стандартное уравнение сферы:

$(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - (-4))^2 = 11$

$x^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 11$

Ответ: $x^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 11$.

2.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, преобразуем его к стандартному виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8y + 11 = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 8y) + z^2 + 11 = 0$

Выделим полные квадраты:

Для $x$: $x^2 - 4x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (x - 2)^2 - 4$

Для $y$: $y^2 + 8y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - 4^2 = (y + 4)^2 - 16$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$((x - 2)^2 - 4) + ((y + 4)^2 - 16) + z^2 + 11 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + z^2 - 4 - 16 + 11 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + z^2 - 9 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + z^2 = 9$

Полученное уравнение соответствует стандартному виду уравнения сферы, где $R^2 = 9 > 0$. Следовательно, исходное уравнение является уравнением сферы.

Из стандартного вида находим координаты центра $(x_0; y_0; z_0)$ и радиус $R$:

Центр сферы: $O(2; -4; 0)$

Квадрат радиуса: $R^2 = 9$, значит, радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Уравнение является уравнением сферы с центром в точке $(2; -4; 0)$ и радиусом $3$.

3.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $C$, направив оси вдоль рёбер параллелепипеда: ось $Ox$ вдоль ребра $CD$, ось $Oy$ вдоль ребра $CB$, ось $Oz$ вдоль ребра $CC_1$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты, исходя из длин рёбер $CD = 3$, $CB = 1$, $CC_1 = 4$:

• $C(0, 0, 0)$
• $B(0, 1, 0)$
• $D(3, 0, 0)$
• $C_1(0, 0, 4)$

Найдём координаты остальных необходимых точек:

• $D_1$: так как $\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{CC_1}$, то $D_1(3, 0, 4)$.
• Середина ребра $AA_1$. Сначала найдём координаты вершин $A$ и $A_1$.
  $\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{CD}$, значит $A(3, 1, 0)$.
  $\vec{CA_1} = \vec{CA} + \vec{CC_1}$, значит $A_1(3, 1, 4)$.
  Пусть $M$ — середина $AA_1$. Её координаты равны полусумме координат точек $A$ и $A_1$:
  $M\left(\frac{3+3}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+4}{2}\right) = M(3, 1, 2)$.

Таким образом, сфера проходит через четыре точки: $C(0, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $D_1(3, 0, 4)$ и $M(3, 1, 2)$.

Пусть центр сферы — точка $O(x_0; y_0; z_0)$, а её радиус — $R$. Все точки на сфере равноудалены от её центра. Запишем это условие через квадраты расстояний: $OC^2 = OB^2 = OD_1^2 = OM^2 = R^2$.

$(x_0 - 0)^2 + (y_0 - 0)^2 + (z_0 - 0)^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$ (для точки C)

Приравняем квадраты расстояний:

1. $OC^2 = OB^2$:

$x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = (x_0 - 0)^2 + (y_0 - 1)^2 + (z_0 - 0)^2$

$y_0^2 = (y_0 - 1)^2 \Rightarrow y_0^2 = y_0^2 - 2y_0 + 1 \Rightarrow 2y_0 = 1 \Rightarrow y_0 = \frac{1}{2}$

2. $OD_1^2 = OM^2$:

$(x_0 - 3)^2 + (y_0 - 0)^2 + (z_0 - 4)^2 = (x_0 - 3)^2 + (y_0 - 1)^2 + (z_0 - 2)^2$

$y_0^2 + (z_0 - 4)^2 = (y_0 - 1)^2 + (z_0 - 2)^2$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $y_0^2 = (y_0 - 1)^2$, поэтому эти члены сокращаются:

$(z_0 - 4)^2 = (z_0 - 2)^2 \Rightarrow z_0^2 - 8z_0 + 16 = z_0^2 - 4z_0 + 4 \Rightarrow 12 = 4z_0 \Rightarrow z_0 = 3$

3. $OC^2 = OD_1^2$:

$x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = (x_0 - 3)^2 + y_0^2 + (z_0 - 4)^2$

$x_0^2 + z_0^2 = (x_0 - 3)^2 + (z_0 - 4)^2$

Подставим найденное значение $z_0 = 3$:

$x_0^2 + 3^2 = (x_0 - 3)^2 + (3 - 4)^2$

$x_0^2 + 9 = (x_0^2 - 6x_0 + 9) + (-1)^2$

$x_0^2 + 9 = x_0^2 - 6x_0 + 9 + 1$

$0 = -6x_0 + 1 \Rightarrow 6x_0 = 1 \Rightarrow x_0 = \frac{1}{6}$

Итак, координаты центра сферы $O(\frac{1}{6}; \frac{1}{2}; 3)$.

Теперь найдём радиус сферы. Проще всего это сделать, вычислив расстояние от центра $O$ до точки $C(0, 0, 0)$:

$R^2 = OC^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3^2 = \frac{1}{36} + \frac{1}{4} + 9$

$R^2 = \frac{1}{36} + \frac{9}{36} + \frac{324}{36} = \frac{1 + 9 + 324}{36} = \frac{334}{36} = \frac{167}{18}$

Радиус равен:

$R = \sqrt{\frac{167}{18}} = \frac{\sqrt{167}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{167}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{167} \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{334}}{6}$

Ответ: $R = \frac{\sqrt{334}}{6}$ см.