Страница 26 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Уравнение плоскости

1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (4; -2; 7)$ и перпендикулярной прямой $CD$, если $C (7; 3; -2)$, $D (4; -5; 1)$.

2. Докажите, что плоскости $x - 5y + 4z - 28 = 0$ и $3x - y - 2z + 100 = 0$ перпендикулярны.

3. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны 1 см, 2 см и 4 см. Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $AD_1C$.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой $CD$, то направляющий вектор прямой $CD$ является вектором нормали к плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{n} = \vec{CD} = (x_D-x_C; y_D-y_C; z_D-z_C) = (4-7; -5-3; 1-(-2)) = (-3; -8; 3)$

Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости: $A=-3$, $B=-8$, $C=3$.

Плоскость проходит через точку $M(4; -2; 7)$, поэтому $x_0=4$, $y_0=-2$, $z_0=7$.

Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$-3(x-4) - 8(y-(-2)) + 3(z-7) = 0$

$-3(x-4) - 8(y+2) + 3(z-7) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-3x + 12 - 8y - 16 + 3z - 21 = 0$

$-3x - 8y + 3z - 25 = 0$

Умножим уравнение на $-1$, чтобы получить более стандартный вид:

$3x + 8y - 3z + 25 = 0$

Ответ: $3x + 8y - 3z + 25 = 0$.

2. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их векторы нормали перпендикулярны. Векторы нормали перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Уравнение первой плоскости: $x - 5y + 4z - 28 = 0$. Ее вектор нормали $\vec{n_1}=(1; -5; 4)$.

Уравнение второй плоскости: $3x - y - 2z + 100 = 0$. Ее вектор нормали $\vec{n_2}=(3; -1; -2)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 3 + (-5) \cdot (-1) + 4 \cdot (-2) = 3 + 5 - 8 = 0$

Так как скалярное произведение векторов нормали равно нулю, векторы перпендикулярны, а следовательно, и плоскости перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Плоскости перпендикулярны, так как скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю.

3. Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты, исходя из длин рёбер $AB = 1$, $AD = 2$, $AA_1 = 4$:

$A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $D(0, 2, 0)$, $A_1(0, 0, 4)$.

Координаты точек, определяющих плоскость $AD_1C$ и точку $B_1$, будут: $C(1, 2, 0)$ (так как $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$), $D_1(0, 2, 4)$ и искомая точка $B_1(1, 0, 4)$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $C(1,2,0)$ и $D_1(0,2,4)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{AC}=(1-0; 2-0; 0-0)=(1; 2; 0)$ и $\vec{AD_1}=(0-0; 2-0; 4-0)=(0; 2; 4)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $AD_1C$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 4 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 4 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 2 \cdot 0) = 8\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$

Таким образом, $\vec{n}=(8; -4; 2)$. Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 2: $\vec{n'}=(4; -2; 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Так как плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, то $D=0$. Уравнение плоскости: $4x - 2y + z = 0$.

Расстояние $d$ от точки $B_1(x_0, y_0, z_0) = (1, 0, 4)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим наши значения:

$d = \frac{|4(1) - 2(0) + 1(4)|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 0 + 4|}{\sqrt{16 + 4 + 1}} = \frac{|8|}{\sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$

Ответ: $\frac{8}{\sqrt{21}}$ см.

Самостоятельная работа № 8

Цилиндр

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см, а угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Прямоугольник $\mathit{ABCD}$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $\mathit{AD} = 6 \text{ см}$, $\angle ABD = 60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $\mathit{ABCD}$ является высотой цилиндра.

3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны $30 \text{ см}^2$ и $20\sqrt{3} \text{ см}^2$. Угол между плоскостями сечений равен $30^\circ$. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через две другие образующие данных сечений.

1. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника, его сторона (которая является образующей и высотой цилиндра $h$) и другая сторона (которая является диаметром основания цилиндра $D$) образуют прямоугольный треугольник.
Пусть дана диагональ $d = 12$ см. Угол между диагональю и образующей равен $45^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике катетами являются высота $h$ и диаметр $D$, а гипотенузой — диагональ $d$.
Найдем высоту $h$ и диаметр $D$ основания:
$h = d \cdot \cos(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.
$D = d \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.
Радиус основания $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi R h$
Подставим найденные значения:
$S_{бок} = 2 \pi (3\sqrt{2})(6\sqrt{2}) = 2 \pi \cdot 18 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \pi \cdot 18 \cdot 2 = 72 \pi$ см².
Ответ: $72\pi \text{ см}^2$.

2. Развёрткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник $ABCD$. Одна его сторона равна высоте цилиндра $h$, а другая — длине окружности основания $C = 2\pi R$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. В нём катет $AD = 6$ см и $\angle ABD = 60^\circ$.
Найдем второй катет $AB$:
$\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{AB} \implies \tan(60^\circ) = \frac{6}{AB} \implies \sqrt{3} = \frac{6}{AB}$
$AB = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Сравним стороны прямоугольника: $AD=6$ см и $AB=2\sqrt{3}$ см. Поскольку $(2\sqrt{3})^2=12$ и $6^2=36$, то $2\sqrt{3} < 6$.
По условию, меньшая сторона прямоугольника является высотой цилиндра, значит, $h = AB = 2\sqrt{3}$ см.
Тогда большая сторона является длиной окружности основания: $C = AD = 6$ см.
Найдем радиус основания $R$:
$C = 2\pi R \implies 6 = 2\pi R \implies R = \frac{3}{\pi}$ см.
Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей основания $S_{осн}$.
$S_{бок} = C \cdot h = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см².
$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{3}{\pi}\right)^2 = \pi \frac{9}{\pi^2} = \frac{9}{\pi}$ см².
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 12\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{9}{\pi} = 12\sqrt{3} + \frac{18}{\pi}$ см².
Ответ: $12\sqrt{3} + \frac{18}{\pi} \text{ см}^2$.

3. Пусть $h$ — длина образующей цилиндра. Сечения, проходящие через образующую, являются прямоугольниками. Площадь такого сечения равна произведению образующей $h$ на длину хорды, соединяющей концы образующих в основании.
Пусть $a$ и $b$ — длины хорд оснований для двух данных сечений.
Для первого сечения площадь $S_1 = h \cdot a = 30$, откуда $a = \frac{30}{h}$.
Для второго сечения площадь $S_2 = h \cdot b = 20\sqrt{3}$, откуда $b = \frac{20\sqrt{3}}{h}$.
Угол между плоскостями сечений равен углу между хордами $a$ и $b$ в основании. Пусть этот угол $\gamma = 30^\circ$.
Третье сечение проходит через две другие образующие данных сечений. Значит, его основанием является хорда $c$, соединяющая концы хорд $a$ и $b$. В основании цилиндра мы получаем треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$, где угол между $a$ и $b$ равен $\gamma$.
Найдем длину хорды $c$ по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
$c^2 = \left(\frac{30}{h}\right)^2 + \left(\frac{20\sqrt{3}}{h}\right)^2 - 2 \cdot \frac{30}{h} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{h} \cdot \cos(30^\circ)$
$c^2 = \frac{900}{h^2} + \frac{400 \cdot 3}{h^2} - 2 \cdot \frac{600\sqrt{3}}{h^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$c^2 = \frac{900}{h^2} + \frac{1200}{h^2} - \frac{1800}{h^2} = \frac{900+1200-1800}{h^2} = \frac{300}{h^2}$
$c = \sqrt{\frac{300}{h^2}} = \frac{\sqrt{100 \cdot 3}}{h} = \frac{10\sqrt{3}}{h}$.
Площадь третьего сечения $S_3$ равна:
$S_3 = h \cdot c = h \cdot \frac{10\sqrt{3}}{h} = 10\sqrt{3}$ см².
Ответ: $10\sqrt{3} \text{ см}^2$.