Страница 25 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 4

Умножение вектора на число. Гомотетия

1. Найдите модуль вектора $\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$, если $\vec{a} (5; -12; 4)$, $\vec{b} (1; -2; 2)$.

2. Дан вектор $\vec{b} (2; -1; -2)$. Найдите координаты вектора $\vec{c}$, противоположно направленного с вектором $\vec{b}$, если $|\vec{c}| = 45$.

3. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; -1; 2)$, $B (4; -3; 6)$, $C (-1; -2; 1)$ и $D (-4; -1; -1)$ является трапецией.

1.

Чтобы найти модуль вектора $\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$, сначала найдем координаты этого вектора.

1. Найдем координаты вектора $2\vec{a}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{a}(5; -12; 4)$ на 2:
$2\vec{a} = (2 \cdot 5; 2 \cdot (-12); 2 \cdot 4) = (10; -24; 8)$.

2. Найдем координаты вектора $3\vec{b}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{b}(1; -2; 2)$ на 3:
$3\vec{b} = (3 \cdot 1; 3 \cdot (-2); 3 \cdot 2) = (3; -6; 6)$.

3. Теперь найдем координаты вектора $\vec{m}$, вычитая из координат вектора $2\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $3\vec{b}$:
$\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b} = (10 - 3; -24 - (-6); 8 - 6) = (7; -18; 2)$.

4. Модуль (длина) вектора $\vec{m}(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
$|\vec{m}| = \sqrt{7^2 + (-18)^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 324 + 4} = \sqrt{377}$.

Ответ: $\sqrt{377}$.

2.

Два вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в разные стороны. Это означает, что вектор $\vec{c}$ можно представить в виде $\vec{c} = k \cdot \vec{b}$, где $k$ - отрицательное число.

1. Найдем модуль вектора $\vec{b}(2; -1; -2)$:
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

2. Модули коллинеарных векторов связаны соотношением $|\vec{c}| = |k| \cdot |\vec{b}|$. По условию $|\vec{c}| = 45$.
$45 = |k| \cdot 3$.
Отсюда $|k| = \frac{45}{3} = 15$.

3. Так как векторы $\vec{c}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, коэффициент $k$ должен быть отрицательным: $k = -15$.

4. Теперь найдем координаты вектора $\vec{c}$, умножив координаты вектора $\vec{b}$ на $k = -15$:
$\vec{c} = -15 \cdot \vec{b} = (-15 \cdot 2; -15 \cdot (-1); -15 \cdot (-2)) = (-30; 15; 30)$.

Ответ: $\vec{c}(-30; 15; 30)$.

3.

Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие - нет. Чтобы доказать, что $ABCD$ является трапецией, нужно найти векторы, соответствующие его сторонам, и проверить их на коллинеарность (параллельность).

1. Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника $ABCD$ с вершинами $A(-2; -1; 2)$, $B(4; -3; 6)$, $C(-1; -2; 1)$ и $D(-4; -1; -1)$.
$\vec{AB} = (4 - (-2); -3 - (-1); 6 - 2) = (6; -2; 4)$.
$\vec{BC} = (-1 - 4; -2 - (-3); 1 - 6) = (-5; 1; -5)$.
$\vec{CD} = (-4 - (-1); -1 - (-2); -1 - 1) = (-3; 1; -2)$.
$\vec{DA} = (-2 - (-4); -1 - (-1); 2 - (-1)) = (2; 0; 3)$.

2. Проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противоположным сторонам. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

Сравним векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$. Для этого сначала найдем вектор $\vec{DC}$:
$\vec{DC} = -\vec{CD} = -(-3; 1; -2) = (3; -1; 2)$.
Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{AB}(6; -2; 4)$ и $\vec{DC}(3; -1; 2)$:
$\frac{6}{3} = 2$; $\frac{-2}{-1} = 2$; $\frac{4}{2} = 2$.
Так как отношения координат равны, векторы коллинеарны, и $\vec{AB} = 2\vec{DC}$. Следовательно, стороны $AB$ и $DC$ параллельны.

Сравним векторы $\vec{BC}(-5; 1; -5)$ и $\vec{AD}$. Найдем вектор $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = -\vec{DA} = -(2; 0; 3) = (-2; 0; -3)$.
Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{BC}(-5; 1; -5)$ и $\vec{AD}(-2; 0; -3)$:
$\frac{-5}{-2} = 2.5$; $\frac{1}{0}$.
Поскольку отношение вторых координат определить невозможно (деление на ноль), а сами вторые координаты не равны нулю одновременно ($1 \neq 0$), векторы не коллинеарны. Следовательно, стороны $BC$ и $AD$ не параллельны.

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ две стороны ($AB$ и $DC$) параллельны, а две другие ($BC$ и $AD$) не параллельны, данный четырехугольник является трапецией, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Самостоятельная работа № 5

Умножение вектора на число. Гомотетия

Найдите координаты образа точки $D (34; -52; -20)$ при гомотетии с центром в точке $C (10; -22; -8)$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{5}{6}$.

Через точку $A$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды равна $36 \, \text{см}^2$. Найдите площадь основания данной пирамиды, если точка $A$ делит её высоту в отношении 3 : 4, считая от вершины пирамиды.

Дан тетраэдр $DABC$. Медианы грани $BAD$ пересекаются в точке $O$. Точка $M$ — середина ребра $DC$. Выразите вектор $\vec{OM}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

1. Пусть $D'(x'; y'; z')$ — образ точки $D(34; -52; -20)$ при гомотетии с центром в точке $C(10; -22; -8)$ и коэффициентом $k = -\frac{5}{6}$.

По определению гомотетии, вектор $\vec{CD'}$ связан с вектором $\vec{CD}$ соотношением: $\vec{CD'} = k \cdot \vec{CD}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (34 - 10; -52 - (-22); -20 - (-8)) = (24; -30; -12)$.

Теперь умножим вектор $\vec{CD}$ на коэффициент гомотетии $k$:

$\vec{CD'} = -\frac{5}{6} \cdot \vec{CD} = -\frac{5}{6} \cdot (24; -30; -12) = (-\frac{5}{6} \cdot 24; -\frac{5}{6} \cdot (-30); -\frac{5}{6} \cdot (-12)) = (-20; 25; 10)$.

Координаты вектора $\vec{CD'}$ равны $(x' - x_C; y' - y_C; z' - z_C)$. Приравнивая их к найденным значениям, получаем систему уравнений для координат точки $D'$:

$x' - 10 = -20 \Rightarrow x' = 10 - 20 = -10$

$y' - (-22) = 25 \Rightarrow y' + 22 = 25 \Rightarrow y' = 25 - 22 = 3$

$z' - (-8) = 10 \Rightarrow z' + 8 = 10 \Rightarrow z' = 10 - 8 = 2$

Таким образом, координаты образа точки $D$ есть $D'(-10; 3; 2)$.

Ответ: $(-10; 3; 2)$.

2. Обозначим вершину пирамиды как $V$, высоту исходной пирамиды как $H$, а площадь её основания как $S$. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Пусть высота меньшей пирамиды равна $h'$, а площадь её основания $S' = 36 \text{ см}^2$.

Точка $A$ на высоте делит её в отношении $3:4$, считая от вершины. Это означает, что высота меньшей пирамиды $h'$ и высота оставшейся усеченной пирамиды соотносятся как $3:4$.

Таким образом, $h' = 3x$ для некоторого $x$, а полная высота исходной пирамиды $H = 3x + 4x = 7x$.

Коэффициент подобия $k$ между меньшей и исходной пирамидами равен отношению их высот:

$k = \frac{h'}{H} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S'}{S} = k^2 = (\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$.

Подставим известное значение площади меньшего основания $S' = 36 \text{ см}^2$ и найдем $S$:

$\frac{36}{S} = \frac{9}{49}$

$S = \frac{36 \cdot 49}{9} = 4 \cdot 49 = 196 \text{ см}^2$.

Ответ: $196 \text{ см}^2$.

3. Для решения задачи введем систему координат с началом в точке $D$. В этой системе координат положение любой точки $X$ определяется её радиус-вектором $\vec{DX}$.

Точка $O$ — точка пересечения медиан грани $BAD$, то есть её центроид. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Следовательно, радиус-вектор точки $O$:

$\vec{DO} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DD}}{3}$.

Поскольку $\vec{DD}$ — нулевой вектор, получаем:

$\vec{DO} = \frac{1}{3}(\vec{DA} + \vec{DB})$.

Точка $M$ — середина ребра $DC$. Её радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов концов отрезка:

$\vec{DM} = \frac{\vec{DD} + \vec{DC}}{2} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.

Теперь выразим искомый вектор $\vec{OM}$ через радиус-векторы точек $O$ и $M$ по правилу разности векторов:

$\vec{OM} = \vec{DM} - \vec{DO}$.

Подставим найденные выражения для $\vec{DM}$ и $\vec{DO}$:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{DC} - \frac{1}{3}(\vec{DA} + \vec{DB})$.

Раскрыв скобки, получим окончательное выражение:

$\vec{OM} = -\frac{1}{3}\vec{DA} - \frac{1}{3}\vec{DB} + \frac{1}{2}\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{OM} = -\frac{1}{3}\vec{DA} - \frac{1}{3}\vec{DB} + \frac{1}{2}\vec{DC}$.

Самостоятельная работа № 6

Скалярное произведение векторов

1. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} (-1; 1; -1)$ и $\vec{b} (-4; 4; 2)$.

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.

Найдите:

1) $(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a}$;

2) $|4\vec{b} - 3\vec{a}|$.

3. Дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Известно, что $AB = BC = AA_1$, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите угол между прямыми $C_1A$ и $BC$.

1. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле скалярного произведения векторов:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$
Для векторов $\vec{a}(-1; 1; -1)$ и $\vec{b}(-4; 4; 2)$ найдем сначала их скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot (-4) + 1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 4 + 4 - 2 = 6$
Теперь найдем длины (модули) каждого вектора:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$
Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\alpha) = \frac{6}{\sqrt{3} \cdot 6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ такие, что $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, и угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.

1) Найдем $(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a}$.
Используя свойства скалярного произведения, раскроем скобки:
$(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a} = 4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{a})$
Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{a}$ равно квадрату модуля вектора $\vec{a}$:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 6^2 = 36$
Скалярное произведение $\vec{b} \cdot \vec{a}$ находится по формуле:
$\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{b}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \sqrt{3} \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 3 = 9$
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 4 \cdot 9 - 3 \cdot 36 = 36 - 108 = -72$
Ответ: -72.

2) Найдем $|4\vec{b} - 3\vec{a}|$.
Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату:
$|4\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = (4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot (4\vec{b} - 3\vec{a})$
Раскроем скобки:
$(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot (4\vec{b} - 3\vec{a}) = 16(\vec{b} \cdot \vec{b}) - 12(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9(\vec{a} \cdot \vec{a})$
Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, выражение можно упростить:
$16|\vec{b}|^2 - 24(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{a}|^2$
Из предыдущего пункта мы знаем, что $|\vec{a}|^2 = 36$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$. Найдем $|\vec{b}|^2$:
$|\vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$
Подставим все значения в выражение:
$16 \cdot 3 - 24 \cdot 9 + 9 \cdot 36 = 48 - 216 + 324 = 156$
Таким образом, $|4\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = 156$.
Тогда модуль вектора равен корню из этого значения:
$|4\vec{b} - 3\vec{a}| = \sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2\sqrt{39}$
Ответ: $2\sqrt{39}$.

3. Угол между скрещивающимися прямыми $C_1A$ и $BC$ равен углу между их направляющими векторами. Найдем этот угол, введя систему координат.
Пусть точка $B$ будет началом координат $B(0, 0, 0)$. Направим ось $Bx$ вдоль луча $BC$, а ось $Bz$ — вдоль ребра $BB_1$.
Пусть $AB = BC = AA_1 = a$.
Определим координаты нужных нам точек:
$B(0, 0, 0)$
$C(a, 0, 0)$ (лежит на оси $Bx$ на расстоянии $a$ от начала координат)
Координаты точки $A$ в плоскости $Oxy$ определяются из того, что $AB=a$ и $\angle ABC=120^\circ$. Таким образом, $A(a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = A(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Призма прямая, поэтому $AA_1 \perp ABC$. Координаты точки $C_1$ получаются сдвигом точки $C$ на вектор $\vec{BB_1} = (0, 0, a)$.
$C_1(a, 0, a)$.
Теперь найдем координаты направляющих векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC_1}$ (или $\vec{C_1A}$):
$\vec{BC} = C - B = (a, 0, 0)$
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (a - (-\frac{a}{2}), 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, a - 0) = (\frac{3a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$
Найдем косинус угла $\phi$ между этими векторами:
$\cos(\phi) = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{AC_1}}{|\vec{BC}| \cdot |\vec{AC_1}|}$
Вычислим скалярное произведение:
$\vec{BC} \cdot \vec{AC_1} = a \cdot \frac{3a}{2} + 0 \cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot a = \frac{3a^2}{2}$
Вычислим модули векторов:
$|\vec{BC}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$
$|\vec{AC_1}| = \sqrt{(\frac{3a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{12a^2}{4} + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$
Подставим найденные значения в формулу для косинуса:
$\cos(\phi) = \frac{\frac{3a^2}{2}}{a \cdot 2a} = \frac{3a^2}{4a^2} = \frac{3}{4}$
Поскольку косинус положителен, полученный угол $\phi$ — острый. Угол между прямыми по определению является острым углом, поэтому искомый угол равен $\arccos(\frac{3}{4})$.
Ответ: $\arccos(\frac{3}{4})$.