Страница 19 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 14

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Вершины треугольника со стороной 6 см и противолежащим ей углом 120° лежат на поверхности шара, радиус которого равен 4 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

2. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна $4\sqrt{3}$ см, а острый угол — 60°. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 5 см.

3. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 169$ в точке C (1; 9; 11).

1.

Пусть $R$ — радиус шара, $R = 4$ см. Вершины треугольника лежат на поверхности шара, следовательно, шар является описанным около этого треугольника. Плоскость треугольника пересекает шар по окружности, которая является описанной окружностью для данного треугольника.

Пусть $r$ — радиус описанной окружности треугольника, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости треугольника. Эти величины связаны соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием от центра шара до плоскости сечения: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Найдем радиус $r$ описанной окружности треугольника, используя теорему синусов. По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $ \frac{a}{\sin \alpha} = 2r $

По условию, сторона треугольника $a = 6$ см, а противолежащий ей угол $\alpha = 120^\circ$.

$ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим значения в формулу: $ r = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $ см.

Теперь можем найти расстояние $d$: $ d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 4 \cdot 3} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2 $ см.

Ответ: 2 см.

2.

Пусть $R$ — радиус шара, $R = 5$ см. Так как шар касается всех сторон трапеции, то в эту трапецию можно вписать окружность. Центр этой окружности будет проекцией центра шара на плоскость трапеции.

Пусть $r$ — радиус вписанной в трапецию окружности, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости трапеции. Эти величины связаны соотношением $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты: $r = h/2$. Найдем высоту трапеции. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции $c = 4\sqrt{3}$ см, а одним из острых углов — угол при основании трапеции $\alpha = 60^\circ$. Высота $h$ является катетом, противолежащим этому углу.

$ h = c \cdot \sin \alpha = 4\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 $ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности: $ r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3 $ см.

Найдем расстояние $d$: $ d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $ см.

Ответ: 4 см.

3.

Уравнение сферы имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты центра сферы $O$, а $R$ — ее радиус.

Из данного уравнения сферы $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 169$ находим координаты ее центра $O(-2; 5; -1)$.

Плоскость, касающаяся сферы в точке $C$, перпендикулярна радиусу $OC$, проведенному в точку касания. Следовательно, вектор $\vec{OC}$ является вектором нормали к искомой плоскости.

Найдем координаты вектора нормали $\vec{n} = \vec{OC}$. Даны координаты точек $O(-2; 5; -1)$ и $C(1; 9; 11)$. $ \vec{n} = (1 - (-2); 9 - 5; 11 - (-1)) = (3; 4; 12) $.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $C(x_C; y_C; z_C)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид: $ A(x - x_C) + B(y - y_C) + C(z - z_C) = 0 $.

Подставим координаты точки $C(1; 9; 11)$ и вектора нормали $\vec{n} = (3; 4; 12)$: $ 3(x - 1) + 4(y - 9) + 12(z - 11) = 0 $.

Раскроем скобки и упростим выражение: $ 3x - 3 + 4y - 36 + 12z - 132 = 0 $ $ 3x + 4y + 12z - 171 = 0 $

Ответ: $3x + 4y + 12z - 171 = 0$.

Самостоятельная работа № 15

Многогранники, вписанные в сферу

1. Основанием прямой призмы является треугольник, одна из сторон которого равна 10 см, а противолежащий ей угол равен 45°. Высота призмы равна $2\sqrt{14}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

2. Стороны оснований правильной шестиугольной усечённой пирамиды равны 2 см и 6 см, а боковое ребро $2\sqrt{17}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

3. Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен $R$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с высотой пирамиды угол $\beta$. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

1.

Пусть $R_{ш}$ - радиус описанного шара, $H$ - высота призмы, а $R_{о}$ - радиус окружности, описанной около основания призмы. Для прямой призмы, вписанной в сферу, радиус сферы можно найти по формуле:

$R_{ш}^2 = R_{о}^2 + (\frac{H}{2})^2$

Сначала найдем радиус окружности, описанной около треугольного основания. По теореме синусов для треугольника в основании:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R_{о}$

где $a = 10$ см - сторона треугольника, а $\alpha = 45^\circ$ - противолежащий ей угол.

$R_{о} = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{10}{2 \sin 45^\circ} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ см.

Высота призмы дана: $H = 2\sqrt{14}$ см. Теперь подставим значения $R_{о}$ и $H$ в формулу для радиуса шара:

$R_{ш}^2 = (5\sqrt{2})^2 + (\frac{2\sqrt{14}}{2})^2 = (25 \cdot 2) + (\sqrt{14})^2 = 50 + 14 = 64$

$R_{ш} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

2.

Для нахождения радиуса шара, описанного около правильной усеченной пирамиды, рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через противоположные вершины оснований. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, вписанную в большую окружность шара. Радиус этой окружности и есть искомый радиус шара.

Основаниями трапеции являются диагонали шестиугольников, которые равны удвоенным радиусам описанных окружностей. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне.

Пусть $a_1 = 2$ см и $a_2 = 6$ см - стороны оснований пирамиды. Тогда радиусы описанных окружностей оснований равны $r_1 = a_1 = 2$ см и $r_2 = a_2 = 6$ см. Основания трапеции в осевом сечении равны $2r_1 = 4$ см и $2r_2 = 12$ см. Боковая сторона трапеции равна боковому ребру пирамиды $l = 2\sqrt{17}$ см.

Найдем высоту усеченной пирамиды $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, боковым ребром $l$ и разностью радиусов $r_2 - r_1$.

$H^2 = l^2 - (r_2 - r_1)^2 = (2\sqrt{17})^2 - (6 - 2)^2 = 4 \cdot 17 - 4^2 = 68 - 16 = 52$

$H = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см.

Пусть $R$ - радиус описанного шара. Центр шара лежит на оси пирамиды. Пусть $x$ - расстояние от центра шара до плоскости большего основания. Тогда расстояние до плоскости меньшего основания равно $H-x$. Составим систему уравнений, используя теорему Пифагора для радиусов оснований и расстояний до центра шара:

$R^2 = r_2^2 + x^2$

$R^2 = r_1^2 + (H-x)^2$

Приравняем правые части:

$r_2^2 + x^2 = r_1^2 + (H-x)^2$

$6^2 + x^2 = 2^2 + (2\sqrt{13}-x)^2$

$36 + x^2 = 4 + 52 - 4\sqrt{13}x + x^2$

$36 = 56 - 4\sqrt{13}x$

$4\sqrt{13}x = 20$

$x = \frac{5}{\sqrt{13}}$ см.

Теперь найдем $R^2$:

$R^2 = r_2^2 + x^2 = 6^2 + (\frac{5}{\sqrt{13}})^2 = 36 + \frac{25}{13} = \frac{36 \cdot 13 + 25}{13} = \frac{468 + 25}{13} = \frac{493}{13}$

$R = \sqrt{\frac{493}{13}}$ см.

Ответ: $\sqrt{\frac{493}{13}}$ см.

3.

Если каждое боковое ребро пирамиды образует с высотой один и тот же угол $\beta$, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания. Центр шара, описанного около такой пирамиды, лежит на ее высоте.

Рассмотрим сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через высоту пирамиды $H$ и одно из боковых ребер $l$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность шара. Основание этого треугольника равно $2R$, а боковые стороны равны $l$. Высота этого треугольника - высота пирамиды $H$. Радиус описанной около этого треугольника окружности и есть искомый радиус шара $R_{ш}$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, радиусом основания $R$ и боковым ребром $l$, угол между $l$ и $H$ равен $\beta$. Из этого треугольника имеем:

$R = H \cdot \tan \beta \implies H = \frac{R}{\tan \beta} = R \cot \beta$

Существует формула, связывающая радиус описанной сферы $R_{ш}$, высоту пирамиды $H$ и радиус описанной окружности основания $R$:

$R_{ш} = \frac{H^2 + R^2}{2H}$

Подставим выражение для $H$ в эту формулу:

$R_{ш} = \frac{(R \cot \beta)^2 + R^2}{2(R \cot \beta)} = \frac{R^2(\cot^2 \beta + 1)}{2R \cot \beta} = \frac{R(\cot^2 \beta + 1)}{2 \cot \beta}$

Используем тригонометрическое тождество $1 + \cot^2 \beta = \csc^2 \beta = \frac{1}{\sin^2 \beta}$ и определение $\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$:

$R_{ш} = \frac{R \cdot \frac{1}{\sin^2 \beta}}{2 \frac{\cos \beta}{\sin \beta}} = \frac{R}{\sin^2 \beta} \cdot \frac{\sin \beta}{2 \cos \beta} = \frac{R}{2 \sin \beta \cos \beta}$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin \beta \cos \beta = \sin(2\beta)$, получаем:

$R_{ш} = \frac{R}{\sin(2\beta)}$

Ответ: $\frac{R}{\sin(2\beta)}$.