Страница 12 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 21

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 8$ см, $\angle ABC = 30^\circ$. Грань $DAB$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды и является правильным треугольником. Найдите объём пирамиды.

2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 4 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

3. Площадь основания пирамиды равна $24 \text{ см}^2$, а все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в неё шара равен 2 см.

1. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
Сначала найдём площадь основания — треугольника $ABC$. По формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2} = 16$ см².
По условию, грань $DAB$ перпендикулярна плоскости основания. Это значит, что высота пирамиды, опущенная из вершины $D$, лежит в плоскости этой грани. Так как грань $DAB$ — правильный (равносторонний) треугольник, то её высота, проведённая к стороне $AB$, будет являться и высотой всей пирамиды.
Сторона этого треугольника равна $AB = 8$ см. Высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, высота пирамиды $H = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь можем вычислить объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{64\sqrt{3}}{3}$ см³.

2. Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$, где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.
Пирамида правильная четырёхугольная, следовательно, её основания — квадраты.
Площадь большего основания $S_1$ со стороной $a_1 = 6$ см:
$S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ см².
Площадь меньшего основания $S_2$ со стороной $a_2 = 4$ см:
$S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ см².
Высота усечённой пирамиды дана по условию: $h = 3$ см.
Подставляем значения в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (36 + 16 + \sqrt{36 \cdot 16}) = 1 \cdot (52 + \sqrt{576}) = 52 + 24 = 76$ см³.
Ответ: 76 см³.

3. Объём пирамиды можно найти через радиус вписанного в неё шара по формуле: $V = \frac{1}{3}rS_{полн}$, где $r$ — радиус вписанного шара, а $S_{полн}$ — площадь полной поверхности пирамиды.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.
По условию $S_{осн} = 24$ см² и $r = 2$ см.
Так как все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha = 30^\circ$, площадь основания является ортогональной проекцией площади боковой поверхности. Поэтому их площади связаны соотношением:
$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos(\alpha)$.
Отсюда найдём площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(30^\circ)} = \frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$ см².
Теперь найдём площадь полной поверхности пирамиды:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 24 + 16\sqrt{3}$ см².
Наконец, вычислим объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3}rS_{полн} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (24 + 16\sqrt{3}) = \frac{48 + 32\sqrt{3}}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{48 + 32\sqrt{3}}{3}$ см³.

Самостоятельная работа № 22

Объёмы тел вращения

1. Образующая конуса равна $a$. Из центра основания конуса к образующей проведён перпендикуляр, который образует с высотой конуса угол $\alpha$. Найдите объём конуса.

2. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $120^{\circ}$, и удалённое от оси цилиндра на 3 см. Найдите объём цилиндра, если диагональ полученного сечения равна 12 см.

3. Основание равнобедренного треугольника равно $a$, а угол при основании равен $\alpha$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $b$ от него (рис. 1). Найдите объём тела вращения.

Рис. 1

Самостоятельная работа № 23

Объёмы тел вращения

1.

Обозначим высоту конуса как $H$, радиус основания как $R$, а образующую как $l$. По условию, $l = a$. Пусть $S$ - вершина конуса, $O$ - центр основания, $A$ - точка на окружности основания. Тогда $SO = H$, $OA = R$, $SA = l = a$. Треугольник $SOA$ - прямоугольный ($\angle SOA = 90^\circ$).

Из центра основания $O$ проведем перпендикуляр $OK$ к образующей $SA$. По условию, этот перпендикуляр образует с высотой $SO$ угол $\alpha$, то есть $\angle SOK = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ ($\angle OK_S = 90^\circ$). В нем $\angle OSK = 90^\circ - \angle SOK = 90^\circ - \alpha$.

Угол $\angle OSK$ является углом при вершине в осевом сечении конуса, то есть $\angle OSA = \angle OSK = 90^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Зная гипотенузу $SA = a$ и угол $\angle OSA = 90^\circ - \alpha$, мы можем найти катеты $H$ и $R$:
Высота $H = SO = SA \cdot \cos(\angle OSA) = a \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = a \sin(\alpha)$.
Радиус $R = OA = SA \cdot \sin(\angle OSA) = a \cdot \sin(90^\circ - \alpha) = a \cos(\alpha)$.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Подставим найденные значения $R$ и $H$:
$V = \frac{1}{3}\pi (a \cos(\alpha))^2 (a \sin(\alpha)) = \frac{1}{3}\pi a^2 \cos^2(\alpha) \cdot a \sin(\alpha) = \frac{1}{3}\pi a^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi a^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.

2.

Объём цилиндра находится по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ - радиус основания, а $H$ - высота.

Сечение, параллельное оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна его сторона - высота цилиндра $H$, а другая - хорда в основании.

Найдем радиус основания $R$. Сечение отсекает от окружности основания дугу в $120^\circ$. Это значит, что центральный угол, опирающийся на хорду сечения, равен $120^\circ$. Пусть хорда - это $AB$, а центр окружности - $O$. Тогда $\angle AOB = 120^\circ$. Расстояние от оси цилиндра до сечения - это перпендикуляр $OK$ из центра $O$ на хорду $AB$. По условию, $OK = 3$ см.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ ($OA=OB=R$) высота $OK$ является также биссектрисой. Поэтому $\angle AOK = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $AOK$ имеем: $OK = OA \cdot \cos(\angle AOK) = R \cdot \cos(60^\circ)$.
$3 = R \cdot \frac{1}{2}$, откуда $R = 6$ см.

Теперь найдем ширину сечения (длину хорды $AB$). $AB = 2 \cdot AK$.
В том же треугольнике $AOK$: $AK = OA \cdot \sin(\angle AOK) = R \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Ширина сечения $w = AB = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Сечение - это прямоугольник со сторонами $w = 6\sqrt{3}$ см и $H$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна $D = 12$ см. По теореме Пифагора: $D^2 = w^2 + H^2$.
$12^2 = (6\sqrt{3})^2 + H^2$
$144 = 36 \cdot 3 + H^2$
$144 = 108 + H^2$
$H^2 = 144 - 108 = 36$
$H = 6$ см.

Теперь мы можем найти объём цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 6^2 \cdot 6 = \pi \cdot 36 \cdot 6 = 216\pi$ см$^3$.

Ответ: $216\pi$ см$^3$.

3.

Для нахождения объёма тела вращения воспользуемся второй теоремой Гюльдена: $V = 2\pi d S$, где $S$ - площадь вращаемой фигуры (в данном случае, равнобедренного треугольника), а $d$ - расстояние от центра масс (центроида) этой фигуры до оси вращения.

1. Найдем площадь треугольника $S$.
Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle A = \angle C = \alpha$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $AH = HC = a/2$.
Из прямоугольного треугольника $ABH$ находим высоту:
$h = BH = AH \cdot \tan(\alpha) = \frac{a}{2}\tan(\alpha)$.
Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2}\tan(\alpha) = \frac{a^2}{4}\tan(\alpha)$.

2. Найдем расстояние $d$ от центроида до оси вращения.
Центроид треугольника лежит на пересечении его медиан. В равнобедренном треугольнике он лежит на высоте $BH$ на расстоянии $\frac{1}{3}$ высоты от основания $AC$.
Расстояние от центроида до основания $AC$ равно $\frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{2}\tan(\alpha) = \frac{a}{6}\tan(\alpha)$.
Ось вращения $m$ параллельна основанию $AC$ и находится на расстоянии $b$ от него. Судя по рисунку, ось находится вне треугольника. Поэтому расстояние от центроида до оси вращения $m$ равно сумме расстояния от оси до основания ($b$) и расстояния от основания до центроида ($\frac{1}{3}h$):
$d = b + \frac{h}{3} = b + \frac{a}{6}\tan(\alpha)$.

3. Вычислим объём тела вращения $V$.
$V = 2\pi d S = 2\pi \left(b + \frac{a}{6}\tan(\alpha)\right) \left(\frac{a^2}{4}\tan(\alpha)\right)$.
$V = \frac{\pi a^2 \tan(\alpha)}{2} \left(b + \frac{a \tan(\alpha)}{6}\right) = \frac{\pi a^2 b \tan(\alpha)}{2} + \frac{\pi a^3 \tan^2(\alpha)}{12}$.
Вынесем общий множитель для более компактной записи:
$V = \frac{\pi a^2 \tan(\alpha)}{12} (6b + a \tan(\alpha))$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^2 \tan(\alpha)}{12}(6b + a \tan(\alpha))$.