Страница 5 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Сложение и вычитание векторов

1. Даны векторы $ \vec{m} (3; -4; 5) $ и $ \vec{n} (-2; 3; 7). $ Найдите:

1) координаты вектора $ \vec{m} + \vec{n}; $

2) координаты вектора $ \vec{m} - \vec{n}; $

3) $ |\vec{m} + \vec{n}|. $

2. Упростите выражение $ \vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC}. $

3. Дан параллелепипед $ ABCD A_1 B_1 C_1 D_1. $ Выразите вектор $ \vec{C_1 C} $ через векторы $ \vec{DA_1}, \vec{DB_1} $ и $ \vec{DC_1}. $

1) Чтобы найти координаты вектора суммы $\vec{m} + \vec{n}$, необходимо сложить соответствующие координаты векторов $\vec{m}(3; -4; 5)$ и $\vec{n}(-2; 3; 7)$.
$\vec{m} + \vec{n} = (3 + (-2); -4 + 3; 5 + 7) = (1; -1; 12)$.
Ответ: $(1; -1; 12)$.

2) Для нахождения координат вектора разности $\vec{m} - \vec{n}$, необходимо из координат вектора $\vec{m}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{n}$.
$\vec{m} - \vec{n} = (3 - (-2); -4 - 3; 5 - 7) = (5; -7; -2)$.
Ответ: $(5; -7; -2)$.

3) Модуль (длина) вектора $\vec{a}(x; y; z)$ находится по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Координаты вектора $\vec{m} + \vec{n}$ были найдены в пункте 1): $(1; -1; 12)$.
Вычислим его модуль:
$|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 12^2} = \sqrt{1 + 1 + 144} = \sqrt{146}$.
Ответ: $\sqrt{146}$.

2. Используем свойство $\vec{-XY} = \vec{YX}$ для замены вычитания на сложение и перегруппируем векторы для применения правила сложения (правила Шаля):
$\vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC} = \vec{AC} + \vec{BK} + \vec{TM} + \vec{MA} + \vec{CB}$
Сгруппируем слагаемые так, чтобы конец одного вектора был началом следующего:
$(\vec{MA} + \vec{AC}) + (\vec{CB} + \vec{BK}) + \vec{TM}$
По правилу Шаля, $\vec{MA} + \vec{AC} = \vec{MC}$ и $\vec{CB} + \vec{BK} = \vec{CK}$.
Выражение упрощается до:
$\vec{MC} + \vec{CK} + \vec{TM}$
Снова применяем правило Шаля: $\vec{MC} + \vec{CK} = \vec{MK}$.
В результате получаем сумму: $\vec{MK} + \vec{TM}$.
Переставив слагаемые, окончательно находим: $\vec{TM} + \vec{MK} = \vec{TK}$.
Ответ: $\vec{TK}$.

3. Воспользуемся правилом вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\vec{OY} - \vec{OX} = \vec{XY}$.
Рассмотрим разность векторов $\vec{DB_1} - \vec{DA_1}$:
$\vec{DB_1} - \vec{DA_1} = \vec{A_1B_1}$
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соединяющие соответственные вершины, равны, поэтому $\vec{A_1B_1} = \vec{DC}$.
Следовательно, $\vec{DB_1} - \vec{DA_1} = \vec{DC}$.
Теперь из полученного вектора $\vec{DC}$ вычтем вектор $\vec{DC_1}$:
$(\vec{DB_1} - \vec{DA_1}) - \vec{DC_1} = \vec{DC} - \vec{DC_1}$
Еще раз применив правило вычитания, получаем:
$\vec{DC} - \vec{DC_1} = \vec{C_1C}$
Таким образом, искомое выражение имеет вид:
$\vec{C_1C} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1} - \vec{DC_1}$.
Ответ: $\vec{C_1C} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1} - \vec{DC_1}$.

1. Найдите модуль вектора $\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b}$, если $\vec{a} (1; -1; 2)$, $\vec{b} (3; -2; -1)$.

2. Дан вектор $\vec{a} (-3; 2; 6)$. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, противоположно направленного с вектором $\vec{a}$, если $|\vec{b}| = 21$.

3. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами A (2; -3; 1), B (-4; 2; 3), C (6; 1; -4) и D (22; -5; -13) является трапецией.

1.

Чтобы найти модуль вектора $\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b}$, сначала найдем координаты самого вектора $\vec{p}$.

1. Умножим вектор $\vec{a}(1; -1; 2)$ на число 7: $7\vec{a} = 7 \cdot (1; -1; 2) = (7 \cdot 1; 7 \cdot (-1); 7 \cdot 2) = (7; -7; 14)$.

2. Умножим вектор $\vec{b}(3; -2; -1)$ на число 4: $4\vec{b} = 4 \cdot (3; -2; -1) = (4 \cdot 3; 4 \cdot (-2); 4 \cdot (-1)) = (12; -8; -4)$.

3. Найдем разность векторов $7\vec{a}$ и $4\vec{b}$: $\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b} = (7; -7; 14) - (12; -8; -4) = (7-12; -7-(-8); 14-(-4)) = (-5; 1; 18)$.

4. Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{p}(-5; 1; 18)$ по формуле $|\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$: $|\vec{p}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 18^2} = \sqrt{25 + 1 + 324} = \sqrt{350}$.

Упростим корень: $\sqrt{350} = \sqrt{25 \cdot 14} = 5\sqrt{14}$.

Ответ: $5\sqrt{14}$.

2.

Вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$, это значит, что они коллинеарны и направлены в разные стороны. Математически это можно записать как $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, где коэффициент $k$ является отрицательным числом ($k < 0$).

1. Найдем модуль вектора $\vec{a}(-3; 2; 6)$: $|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

2. Модуль вектора $\vec{b}$ связан с модулем вектора $\vec{a}$ через коэффициент $k$: $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

По условию $|\vec{b}| = 21$. Так как $k < 0$, то $|k| = -k$. Подставим известные значения: $21 = -k \cdot 7$. Отсюда $-k = \frac{21}{7} = 3$, следовательно, $k = -3$.

3. Теперь найдем координаты вектора $\vec{b}$, умножив вектор $\vec{a}$ на найденный коэффициент $k = -3$: $\vec{b} = -3 \cdot \vec{a} = -3 \cdot (-3; 2; 6) = (-3 \cdot (-3); -3 \cdot 2; -3 \cdot 6) = (9; -6; -18)$.

Ответ: $(9; -6; -18)$.

3.

Четырехугольник является трапецией, если у него есть одна пара параллельных сторон, а другая пара сторон не параллельна. Две стороны параллельны, если соответствующие им векторы коллинеарны. Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

1. Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника ABCD:

$\vec{AB} = B - A = (-4 - 2; 2 - (-3); 3 - 1) = (-6; 5; 2)$

$\vec{BC} = C - B = (6 - (-4); 1 - 2; -4 - 3) = (10; -1; -7)$

$\vec{CD} = D - C = (22 - 6; -5 - 1; -13 - (-4)) = (16; -6; -9)$

$\vec{DA} = A - D = (2 - 22; -3 - (-5); 1 - (-13)) = (-20; 2; 14)$

2. Проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противолежащим сторонам.

Сравним векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$. Для этого найдем отношение их соответствующих координат: $\frac{-20}{10} = -2$; $\frac{2}{-1} = -2$; $\frac{14}{-7} = -2$.

Так как отношения координат равны, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ коллинеарны (причем $\vec{DA} = -2\vec{BC}$), а значит, стороны BC и DA параллельны.

Сравним векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Найдем отношение их соответствующих координат: $\frac{16}{-6} = -\frac{8}{3}$; $\frac{-6}{5} = -1.2$.

Так как уже первые два отношения не равны ($-\frac{8}{3} \neq -\frac{6}{5}$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны, а значит, стороны AB и CD не параллельны.

Поскольку у четырехугольника ABCD одна пара противолежащих сторон (BC и DA) параллельна, а другая пара (AB и CD) не параллельна, данный четырехугольник по определению является трапецией.

Ответ: Утверждение доказано.

Самостоятельная работа № 5

Умножение вектора на число. Гомотетия

1. Найдите координаты образа точки B (2; −15; 8) при гомотетии с центром в точке A (−1; 3; 5) и коэффициентом гомотетии $k = \frac{2}{3}$.

2. Через точку M, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды, если площадь основания данной пирамиды равна 243 см², а точка M делит её высоту в отношении 4 : 5, считая от вершины пирамиды.

3. Дан тетраэдр DABC. Медианы грани ABC пересекаются в точке O. Точка F — середина ребра CD. Выразите вектор $\overrightarrow{OF}$ через векторы $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CD}$.

1. Пусть $B'(x'; y'; z')$ – образ точки $B(2; -15; 8)$ при гомотетии с центром в точке $A(-1; 3; 5)$ и коэффициентом $k = \frac{2}{3}$. По определению гомотетии, вектор $\vec{AB'}$ связан с вектором $\vec{AB}$ соотношением: $\vec{AB'} = k \cdot \vec{AB}$.
Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - (-1); -15 - 3; 8 - 5) = (3; -18; 3)$.
Теперь умножим вектор $\vec{AB}$ на коэффициент $k = \frac{2}{3}$:
$\vec{AB'} = \frac{2}{3} \cdot \vec{AB} = \frac{2}{3} \cdot (3; -18; 3) = (\frac{2}{3} \cdot 3; \frac{2}{3} \cdot (-18); \frac{2}{3} \cdot 3) = (2; -12; 2)$.
Координаты вектора $\vec{AB'}$ также можно выразить через координаты точек $A$ и $B'$:
$\vec{AB'} = (x' - x_A; y' - y_A; z' - z_A) = (x' - (-1); y' - 3; z' - 5) = (x' + 1; y' - 3; z' - 5)$.
Приравнивая полученные выражения для координат вектора $\vec{AB'}$, получаем систему уравнений:
$x' + 1 = 2 \implies x' = 1$
$y' - 3 = -12 \implies y' = -9$
$z' - 5 = 2 \implies z' = 7$
Таким образом, координаты образа точки $B$ есть $B'(1; -9; 7)$.
Ответ: $(1; -9; 7)$.

2. Плоскость, проведенная через точку $M$ на высоте пирамиды параллельно основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной.
Пусть $S_{полн}$ – площадь основания исходной пирамиды, а $h_{полн}$ – её полная высота.
Пусть $S_{сеч}$ – площадь сечения (меньшего основания усеченной пирамиды), а $h_{малой}$ – высота отсеченной малой пирамиды.
По условию, точка $M$ делит высоту в отношении $4 : 5$, считая от вершины. Это означает, что высота малой пирамиды относится к "остатку" высоты как $4:5$.
Тогда отношение высоты малой пирамиды к высоте полной пирамиды равно:
$k = \frac{h_{малой}}{h_{полн}} = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$.
Это отношение является коэффициентом подобия двух пирамид.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S_{сеч}}{S_{полн}} = k^2 = (\frac{4}{9})^2 = \frac{16}{81}$.
Нам известна площадь основания исходной пирамиды $S_{полн} = 243$ см$^2$. Найдем площадь сечения $S_{сеч}$:
$S_{сеч} = S_{полн} \cdot \frac{16}{81} = 243 \cdot \frac{16}{81}$.
Так как $243 = 3 \cdot 81$, то:
$S_{сеч} = 3 \cdot 16 = 48$ см$^2$.
Площадь меньшего основания образовавшейся усеченной пирамиды равна площади сечения.
Ответ: $48$ см$^2$.

3. Для решения задачи выберем в качестве начала отсчета точку $C$. Тогда векторы $\vec{CA}$, $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$ будут радиус-векторами точек $A$, $B$ и $D$ соответственно.
Точка $O$ является точкой пересечения медиан (центроидом) грани $ABC$. Её радиус-вектор $\vec{CO}$ можно найти как среднее арифметическое радиус-векторов вершин треугольника:
$\vec{CO} = \frac{1}{3}(\vec{CA} + \vec{CB} + \vec{CC})$.
Так как $\vec{CC}$ – это нулевой вектор, получаем:
$\vec{CO} = \frac{1}{3}(\vec{CA} + \vec{CB})$.
Точка $F$ – середина ребра $CD$. Её радиус-вектор $\vec{CF}$ равен полусумме радиус-векторов точек $C$ и $D$:
$\vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{CC} + \vec{CD}) = \frac{1}{2}\vec{CD}$.
Теперь выразим искомый вектор $\vec{OF}$ по правилу разности векторов:
$\vec{OF} = \vec{CF} - \vec{CO}$.
Подставим найденные выражения для $\vec{CF}$ и $\vec{CO}$:
$\vec{OF} = \frac{1}{2}\vec{CD} - \frac{1}{3}(\vec{CA} + \vec{CB})$.
Раскроем скобки:
$\vec{OF} = -\frac{1}{3}\vec{CA} - \frac{1}{3}\vec{CB} + \frac{1}{2}\vec{CD}$.
Ответ: $\vec{OF} = -\frac{1}{3}\vec{CA} - \frac{1}{3}\vec{CB} + \frac{1}{2}\vec{CD}$.