Номер 3, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Сложение и вычитание векторов

1. Даны векторы $ \vec{m} (3; -4; 5) $ и $ \vec{n} (-2; 3; 7). $ Найдите:

1) координаты вектора $ \vec{m} + \vec{n}; $

2) координаты вектора $ \vec{m} - \vec{n}; $

3) $ |\vec{m} + \vec{n}|. $

2. Упростите выражение $ \vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC}. $

3. Дан параллелепипед $ ABCD A_1 B_1 C_1 D_1. $ Выразите вектор $ \vec{C_1 C} $ через векторы $ \vec{DA_1}, \vec{DB_1} $ и $ \vec{DC_1}. $

1) Чтобы найти координаты вектора суммы $\vec{m} + \vec{n}$, необходимо сложить соответствующие координаты векторов $\vec{m}(3; -4; 5)$ и $\vec{n}(-2; 3; 7)$.
$\vec{m} + \vec{n} = (3 + (-2); -4 + 3; 5 + 7) = (1; -1; 12)$.
Ответ: $(1; -1; 12)$.

2) Для нахождения координат вектора разности $\vec{m} - \vec{n}$, необходимо из координат вектора $\vec{m}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{n}$.
$\vec{m} - \vec{n} = (3 - (-2); -4 - 3; 5 - 7) = (5; -7; -2)$.
Ответ: $(5; -7; -2)$.

3) Модуль (длина) вектора $\vec{a}(x; y; z)$ находится по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Координаты вектора $\vec{m} + \vec{n}$ были найдены в пункте 1): $(1; -1; 12)$.
Вычислим его модуль:
$|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 12^2} = \sqrt{1 + 1 + 144} = \sqrt{146}$.
Ответ: $\sqrt{146}$.

2. Используем свойство $\vec{-XY} = \vec{YX}$ для замены вычитания на сложение и перегруппируем векторы для применения правила сложения (правила Шаля):
$\vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC} = \vec{AC} + \vec{BK} + \vec{TM} + \vec{MA} + \vec{CB}$
Сгруппируем слагаемые так, чтобы конец одного вектора был началом следующего:
$(\vec{MA} + \vec{AC}) + (\vec{CB} + \vec{BK}) + \vec{TM}$
По правилу Шаля, $\vec{MA} + \vec{AC} = \vec{MC}$ и $\vec{CB} + \vec{BK} = \vec{CK}$.
Выражение упрощается до:
$\vec{MC} + \vec{CK} + \vec{TM}$
Снова применяем правило Шаля: $\vec{MC} + \vec{CK} = \vec{MK}$.
В результате получаем сумму: $\vec{MK} + \vec{TM}$.
Переставив слагаемые, окончательно находим: $\vec{TM} + \vec{MK} = \vec{TK}$.
Ответ: $\vec{TK}$.

3. Воспользуемся правилом вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\vec{OY} - \vec{OX} = \vec{XY}$.
Рассмотрим разность векторов $\vec{DB_1} - \vec{DA_1}$:
$\vec{DB_1} - \vec{DA_1} = \vec{A_1B_1}$
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соединяющие соответственные вершины, равны, поэтому $\vec{A_1B_1} = \vec{DC}$.
Следовательно, $\vec{DB_1} - \vec{DA_1} = \vec{DC}$.
Теперь из полученного вектора $\vec{DC}$ вычтем вектор $\vec{DC_1}$:
$(\vec{DB_1} - \vec{DA_1}) - \vec{DC_1} = \vec{DC} - \vec{DC_1}$
Еще раз применив правило вычитания, получаем:
$\vec{DC} - \vec{DC_1} = \vec{C_1C}$
Таким образом, искомое выражение имеет вид:
$\vec{C_1C} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1} - \vec{DC_1}$.
Ответ: $\vec{C_1C} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1} - \vec{DC_1}$.