Номер 2, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 2

Векторы в пространстве

1. Найдите точку $B_1$, являющуюся образом точки $B (4; -5; 3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (-10; 5; 6)$. Найдите модуль вектора $\vec{B_1 B}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (0; -2; 5)$, $B (-4; 2; 3)$ и $C (6; -4; -1)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $D$.

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$. На отрезке $AC$ отметили точку $K$. Докажите, что векторы $\vec{B_1 K}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{DC_1}$ являются компланарными.

1.
Чтобы найти координаты точки $B_1(x_1; y_1; z_1)$, которая является образом точки $B(4; -5; 3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-10; 5; 6)$, нужно к координатам точки $B$ прибавить соответствующие координаты вектора $\vec{a}$.
$x_1 = 4 + (-10) = -6$
$y_1 = -5 + 5 = 0$
$z_1 = 3 + 6 = 9$
Таким образом, координаты точки $B_1$ равны $(-6; 0; 9)$.
Теперь найдем модуль вектора $\vec{B_1B}$. Сначала определим его координаты, вычитая из координат конца (точки $B$) координаты начала (точки $B_1$):
$\vec{B_1B} = (4 - (-6); -5 - 0; 3 - 9) = (10; -5; -6)$
Модуль (длина) вектора вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$:
$|\vec{B_1B}| = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 25 + 36} = \sqrt{161}$
Ответ: $B_1(-6; 0; 9)$; $|\vec{B_1B}| = \sqrt{161}$.

2.
В параллелограмме $ABCD$ векторы, образованные противоположными сторонами, равны. Например, $\vec{AB} = \vec{DC}$. Пусть искомая вершина $D$ имеет координаты $(x; y; z)$.
Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(0; -2; 5)$ и $B(-4; 2; 3)$:
$\vec{AB} = (-4 - 0; 2 - (-2); 3 - 5) = (-4; 4; -2)$
Теперь выразим координаты вектора $\vec{DC}$ через координаты точек $C(6; -4; -1)$ и $D(x; y; z)$:
$\vec{DC} = (6 - x; -4 - y; -1 - z)$
Приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:
$6 - x = -4 \Rightarrow x = 6 + 4 = 10$
$-4 - y = 4 \Rightarrow y = -4 - 4 = -8$
$-1 - z = -2 \Rightarrow z = -1 + 2 = 1$
Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(10; -8; 1)$.
Ответ: $D(10; -8; 1)$.

3.
Для доказательства компланарности векторов $\vec{B_1K}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{DC_1}$ достаточно показать, что один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других. Введем базис, приняв за начало координат вершину $A$ параллелепипеда. Обозначим векторы, исходящие из этой вершины: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$. Эти три вектора некомпланарны.
Выразим векторы $\vec{B_1K}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{DC_1}$ через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.
1. Точка $K$ лежит на отрезке $AC$. Следовательно, вектор $\vec{AK}$ коллинеарен вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{AK} = \lambda \vec{AC}$ для некоторого скаляра $\lambda \in [0, 1]$.
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.
Тогда $\vec{AK} = \lambda(\vec{a} + \vec{b})$.
2. Выразим вектор $\vec{B_1K}$:
$\vec{B_1K} = \vec{AK} - \vec{AB_1}$.
$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{c}$.
$\vec{B_1K} = \lambda(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + \vec{c}) = (\lambda - 1)\vec{a} + \lambda\vec{b} - \vec{c}$.
3. Выразим вектор $\vec{CB_1}$:
$\vec{CB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AC} = (\vec{a} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{c} - \vec{b}$.
4. Выразим вектор $\vec{DC_1}$:
$\vec{DC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AD}$.
$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
$\vec{DC_1} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$.
Теперь проверим, существуют ли такие числа $x$ и $y$, что $\vec{B_1K} = x \cdot \vec{CB_1} + y \cdot \vec{DC_1}$.
$(\lambda - 1)\vec{a} + \lambda\vec{b} - \vec{c} = x(\vec{c} - \vec{b}) + y(\vec{a} + \vec{c}) = y\vec{a} - x\vec{b} + (x+y)\vec{c}$.
Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ некомпланарны (линейно независимы), мы можем приравнять коэффициенты при них:
$\lambda - 1 = y$
$\lambda = -x \Rightarrow x = -\lambda$
$-1 = x + y$
Подставим выражения для $x$ и $y$ из первых двух уравнений в третье:
$-1 = (-\lambda) + (\lambda - 1)$
$-1 = -1$
Полученное тождество означает, что для любого положения точки $K$ на отрезке $AC$ (т.е. для любого $\lambda \in [0, 1]$) существуют такие коэффициенты $x = -\lambda$ и $y = \lambda - 1$, что вектор $\vec{B_1K}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{CB_1}$ и $\vec{DC_1}$. Это доказывает, что векторы $\vec{B_1K}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{DC_1}$ компланарны.
Ответ: Доказано, что векторы являются компланарными.