Номер 4, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

1. Найдите модуль вектора $\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b}$, если $\vec{a} (1; -1; 2)$, $\vec{b} (3; -2; -1)$.

2. Дан вектор $\vec{a} (-3; 2; 6)$. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, противоположно направленного с вектором $\vec{a}$, если $|\vec{b}| = 21$.

3. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами A (2; -3; 1), B (-4; 2; 3), C (6; 1; -4) и D (22; -5; -13) является трапецией.

1.

Чтобы найти модуль вектора $\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b}$, сначала найдем координаты самого вектора $\vec{p}$.

1. Умножим вектор $\vec{a}(1; -1; 2)$ на число 7: $7\vec{a} = 7 \cdot (1; -1; 2) = (7 \cdot 1; 7 \cdot (-1); 7 \cdot 2) = (7; -7; 14)$.

2. Умножим вектор $\vec{b}(3; -2; -1)$ на число 4: $4\vec{b} = 4 \cdot (3; -2; -1) = (4 \cdot 3; 4 \cdot (-2); 4 \cdot (-1)) = (12; -8; -4)$.

3. Найдем разность векторов $7\vec{a}$ и $4\vec{b}$: $\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b} = (7; -7; 14) - (12; -8; -4) = (7-12; -7-(-8); 14-(-4)) = (-5; 1; 18)$.

4. Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{p}(-5; 1; 18)$ по формуле $|\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$: $|\vec{p}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 18^2} = \sqrt{25 + 1 + 324} = \sqrt{350}$.

Упростим корень: $\sqrt{350} = \sqrt{25 \cdot 14} = 5\sqrt{14}$.

Ответ: $5\sqrt{14}$.

2.

Вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$, это значит, что они коллинеарны и направлены в разные стороны. Математически это можно записать как $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, где коэффициент $k$ является отрицательным числом ($k < 0$).

1. Найдем модуль вектора $\vec{a}(-3; 2; 6)$: $|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

2. Модуль вектора $\vec{b}$ связан с модулем вектора $\vec{a}$ через коэффициент $k$: $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

По условию $|\vec{b}| = 21$. Так как $k < 0$, то $|k| = -k$. Подставим известные значения: $21 = -k \cdot 7$. Отсюда $-k = \frac{21}{7} = 3$, следовательно, $k = -3$.

3. Теперь найдем координаты вектора $\vec{b}$, умножив вектор $\vec{a}$ на найденный коэффициент $k = -3$: $\vec{b} = -3 \cdot \vec{a} = -3 \cdot (-3; 2; 6) = (-3 \cdot (-3); -3 \cdot 2; -3 \cdot 6) = (9; -6; -18)$.

Ответ: $(9; -6; -18)$.

3.

Четырехугольник является трапецией, если у него есть одна пара параллельных сторон, а другая пара сторон не параллельна. Две стороны параллельны, если соответствующие им векторы коллинеарны. Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

1. Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника ABCD:

$\vec{AB} = B - A = (-4 - 2; 2 - (-3); 3 - 1) = (-6; 5; 2)$

$\vec{BC} = C - B = (6 - (-4); 1 - 2; -4 - 3) = (10; -1; -7)$

$\vec{CD} = D - C = (22 - 6; -5 - 1; -13 - (-4)) = (16; -6; -9)$

$\vec{DA} = A - D = (2 - 22; -3 - (-5); 1 - (-13)) = (-20; 2; 14)$

2. Проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противолежащим сторонам.

Сравним векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$. Для этого найдем отношение их соответствующих координат: $\frac{-20}{10} = -2$; $\frac{2}{-1} = -2$; $\frac{14}{-7} = -2$.

Так как отношения координат равны, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ коллинеарны (причем $\vec{DA} = -2\vec{BC}$), а значит, стороны BC и DA параллельны.

Сравним векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Найдем отношение их соответствующих координат: $\frac{16}{-6} = -\frac{8}{3}$; $\frac{-6}{5} = -1.2$.

Так как уже первые два отношения не равны ($-\frac{8}{3} \neq -\frac{6}{5}$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны, а значит, стороны AB и CD не параллельны.

Поскольку у четырехугольника ABCD одна пара противолежащих сторон (BC и DA) параллельна, а другая пара (AB и CD) не параллельна, данный четырехугольник по определению является трапецией.

Ответ: Утверждение доказано.