Номер 9, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Комбинации цилиндра с призмой

1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 16 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

2. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а около него описана правильная шестиугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, меньшее основание и боковая сторона которой равны соответственно 9 см и 17 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{595}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

1.
Найдем диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. Основание – это прямоугольник со сторонами $a=12$ см и $b=16$ см. Его диагональ $d$ находится по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.
Так как цилиндр описан около параллелепипеда, то основание параллелепипеда вписано в основание цилиндра. Диагональ основания параллелепипеда является диаметром основания цилиндра. Следовательно, радиус основания цилиндра $R$ равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.
Высота цилиндра $H$ равна высоте параллелепипеда. Диагональ параллелепипеда, его высота и диагональ основания образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен $60^{\circ}$. В этом треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $60^{\circ}$, а диагональ основания $d$ – прилежащим катетом. Тогда:
$H = d \cdot \tan(60^{\circ}) = 20 \cdot \sqrt{3} = 20\sqrt{3}$ см.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH = 2\pi R(R+H)$.
Подставим найденные значения $R$ и $H$:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 10(10 + 20\sqrt{3}) = 20\pi(10 + 20\sqrt{3}) = 200\pi(1 + 2\sqrt{3})$ см².
Ответ: $200\pi(1 + 2\sqrt{3})$ см².

2.
Пусть радиус цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$. Высоты обеих призм также равны $H$.
Для правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, ее основание (правильный треугольник) вписано в окружность основания цилиндра. Радиус этой окружности $R$ является радиусом описанной окружности для треугольника. Сторона правильного треугольника $a_3$ выражается через радиус описанной окружности как:
$a_3 = R\sqrt{3}$.
Периметр основания треугольной призмы: $P_3 = 3a_3 = 3R\sqrt{3}$.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы: $S_3 = P_3 \cdot H = 3R\sqrt{3}H$.
Для правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, ее основание (правильный шестиугольник) описано около окружности основания цилиндра. Радиус этой окружности $R$ является радиусом вписанной окружности для шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника $a_6$ выражается через радиус вписанной окружности как:
$R = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
Периметр основания шестиугольной призмы: $P_6 = 6a_6 = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{12R}{\sqrt{3}} = 4R\sqrt{3}$.
Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы: $S_6 = P_6 \cdot H = 4R\sqrt{3}H$.
Найдем отношение площадей боковых поверхностей вписанной треугольной призмы и описанной шестиугольной призмы:
$\frac{S_3}{S_6} = \frac{3R\sqrt{3}H}{4R\sqrt{3}H} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $3:4$.

3.
Чтобы в призму можно было вписать цилиндр, в основание призмы (равнобокую трапецию) должна вписываться окружность. Условие вписываемости окружности в четырехугольник: суммы длин противоположных сторон равны. Пусть $a$ и $b$ – основания трапеции, $c$ – боковая сторона. Тогда $a+b = 2c$.
По условию меньшее основание $b=9$ см, боковая сторона $c=17$ см. Найдем большее основание $a$:
$a + 9 = 2 \cdot 17 \Rightarrow a + 9 = 34 \Rightarrow a = 25$ см.
Радиус вписанного цилиндра $r$ равен радиусу окружности, вписанной в трапецию. Диаметр этой окружности равен высоте трапеции $h_{тр}$. Найдем высоту трапеции. Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $c=17$ и катетом, равным полуразности оснований: $\frac{a-b}{2} = \frac{25-9}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. Второй катет – это высота $h_{тр}$:
$h_{тр} = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15$ см.
Радиус основания цилиндра $r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.
Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы. Будем считать призму прямой. Диагональ призмы $D$, диагональ основания $d_{тр}$ и высота призмы $H$ связаны соотношением $D^2 = d_{тр}^2 + H^2$. Найдем диагональ трапеции $d_{тр}$. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого – высота трапеции $h_{тр}$ и отрезок большего основания, равный $a - \frac{a-b}{2} = 25-8=17$ см.
$d_{тр}^2 = h_{тр}^2 + (a - \frac{a-b}{2})^2 = 15^2 + 17^2 = 225 + 289 = 514$.
Теперь найдем высоту призмы $H$, зная ее диагональ $D=\sqrt{595}$ см:
$H^2 = D^2 - d_{тр}^2 = (\sqrt{595})^2 - 514 = 595 - 514 = 81$.
$H = \sqrt{81} = 9$ см.
Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2\pi r H$.
Подставим найденные значения $r$ и $H$:
$S_{бок} = 2\pi \cdot 7.5 \cdot 9 = 15\pi \cdot 9 = 135\pi$ см².
Ответ: $135\pi$ см².