Страница 7 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Комбинации цилиндра с призмой

1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 16 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

2. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а около него описана правильная шестиугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, меньшее основание и боковая сторона которой равны соответственно 9 см и 17 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{595}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

1.
Найдем диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. Основание – это прямоугольник со сторонами $a=12$ см и $b=16$ см. Его диагональ $d$ находится по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.
Так как цилиндр описан около параллелепипеда, то основание параллелепипеда вписано в основание цилиндра. Диагональ основания параллелепипеда является диаметром основания цилиндра. Следовательно, радиус основания цилиндра $R$ равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.
Высота цилиндра $H$ равна высоте параллелепипеда. Диагональ параллелепипеда, его высота и диагональ основания образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен $60^{\circ}$. В этом треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $60^{\circ}$, а диагональ основания $d$ – прилежащим катетом. Тогда:
$H = d \cdot \tan(60^{\circ}) = 20 \cdot \sqrt{3} = 20\sqrt{3}$ см.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH = 2\pi R(R+H)$.
Подставим найденные значения $R$ и $H$:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 10(10 + 20\sqrt{3}) = 20\pi(10 + 20\sqrt{3}) = 200\pi(1 + 2\sqrt{3})$ см².
Ответ: $200\pi(1 + 2\sqrt{3})$ см².

2.
Пусть радиус цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$. Высоты обеих призм также равны $H$.
Для правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, ее основание (правильный треугольник) вписано в окружность основания цилиндра. Радиус этой окружности $R$ является радиусом описанной окружности для треугольника. Сторона правильного треугольника $a_3$ выражается через радиус описанной окружности как:
$a_3 = R\sqrt{3}$.
Периметр основания треугольной призмы: $P_3 = 3a_3 = 3R\sqrt{3}$.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы: $S_3 = P_3 \cdot H = 3R\sqrt{3}H$.
Для правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, ее основание (правильный шестиугольник) описано около окружности основания цилиндра. Радиус этой окружности $R$ является радиусом вписанной окружности для шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника $a_6$ выражается через радиус вписанной окружности как:
$R = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
Периметр основания шестиугольной призмы: $P_6 = 6a_6 = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{12R}{\sqrt{3}} = 4R\sqrt{3}$.
Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы: $S_6 = P_6 \cdot H = 4R\sqrt{3}H$.
Найдем отношение площадей боковых поверхностей вписанной треугольной призмы и описанной шестиугольной призмы:
$\frac{S_3}{S_6} = \frac{3R\sqrt{3}H}{4R\sqrt{3}H} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $3:4$.

3.
Чтобы в призму можно было вписать цилиндр, в основание призмы (равнобокую трапецию) должна вписываться окружность. Условие вписываемости окружности в четырехугольник: суммы длин противоположных сторон равны. Пусть $a$ и $b$ – основания трапеции, $c$ – боковая сторона. Тогда $a+b = 2c$.
По условию меньшее основание $b=9$ см, боковая сторона $c=17$ см. Найдем большее основание $a$:
$a + 9 = 2 \cdot 17 \Rightarrow a + 9 = 34 \Rightarrow a = 25$ см.
Радиус вписанного цилиндра $r$ равен радиусу окружности, вписанной в трапецию. Диаметр этой окружности равен высоте трапеции $h_{тр}$. Найдем высоту трапеции. Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $c=17$ и катетом, равным полуразности оснований: $\frac{a-b}{2} = \frac{25-9}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. Второй катет – это высота $h_{тр}$:
$h_{тр} = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15$ см.
Радиус основания цилиндра $r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.
Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы. Будем считать призму прямой. Диагональ призмы $D$, диагональ основания $d_{тр}$ и высота призмы $H$ связаны соотношением $D^2 = d_{тр}^2 + H^2$. Найдем диагональ трапеции $d_{тр}$. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого – высота трапеции $h_{тр}$ и отрезок большего основания, равный $a - \frac{a-b}{2} = 25-8=17$ см.
$d_{тр}^2 = h_{тр}^2 + (a - \frac{a-b}{2})^2 = 15^2 + 17^2 = 225 + 289 = 514$.
Теперь найдем высоту призмы $H$, зная ее диагональ $D=\sqrt{595}$ см:
$H^2 = D^2 - d_{тр}^2 = (\sqrt{595})^2 - 514 = 595 - 514 = 81$.
$H = \sqrt{81} = 9$ см.
Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2\pi r H$.
Подставим найденные значения $r$ и $H$:
$S_{бок} = 2\pi \cdot 7.5 \cdot 9 = 15\pi \cdot 9 = 135\pi$ см².
Ответ: $135\pi$ см².

Самостоятельная работа № 10

Конус

1. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого равна 300°. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен 5 см.

3. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. По условию, этот треугольник является прямоугольным. Это означает, что угол при вершине конуса равен $90^\circ$. В таком треугольнике высота, проведенная к основанию (гипотенузе), является также медианой и равна половине гипотенузы.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой этого треугольника, а диаметр основания конуса $D$ совпадает с гипотенузой. Радиус основания конуса $R$ равен половине диаметра, то есть $R = D/2$.

Таким образом, для нашего осевого сечения имеем $H = D/2 = R$.

По условию, высота конуса $H = 10$ см. Следовательно, радиус основания $R = 10$ см.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$ и радиусом $R$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + R^2$

$l^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$

$l = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R l = \pi R (R + l)$

Подставим найденные значения $R$ и $l$:

$S_{полн} = \pi \cdot 10 \cdot (10 + 10\sqrt{2}) = 100\pi (1 + \sqrt{2})$ см².

Ответ: $100\pi (1 + \sqrt{2})$ см².

2.

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус основания.

По условию, $R = 5$ см, значит $C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.

Длина дуги сектора вычисляется по формуле $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l$, где $\alpha$ — градусная мера дуги, а $l$ — радиус сектора (образующая конуса).

По условию, $\alpha = 300^\circ$.

Так как длина дуги сектора равна длине окружности основания ($L = C$), мы можем составить уравнение:

$\frac{300^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi l = 10\pi$

Сократим дробь и $2\pi$ в левой части:

$\frac{5}{6} \cdot 2\pi l = 10\pi$

Разделим обе части уравнения на $10\pi$:

$\frac{1}{6} \cdot l = 1$

$l = 6$ см.

Ответ: 6 см.

3.

Тело вращения, полученное при вращении треугольника вокруг его наибольшей стороны, состоит из двух конусов с общим основанием.

Стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 20$ см и $c = 21$ см. Вращение происходит вокруг наибольшей стороны $c = 21$ см.

Площадь поверхности этого тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Образующими этих конусов являются две другие стороны треугольника: $l_1 = 13$ см и $l_2 = 20$ см.

Площадь поверхности тела вращения: $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R l_1 + \pi R l_2 = \pi R (l_1 + l_2)$.

Радиус общего основания конусов $R$ — это высота треугольника, опущенная на наибольшую сторону $c = 21$ см. Найдем эту высоту, предварительно вычислив площадь треугольника по формуле Герона.

Полупериметр треугольника $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Площадь треугольника $A$:

$A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}$

$A = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 49} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126$ см².

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через высоту $h$ (которая равна нашему радиусу $R$), проведенную к стороне $c$:

$A = \frac{1}{2} c \cdot h$

$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h$

$h = \frac{126 \cdot 2}{21} = 6 \cdot 2 = 12$ см. Итак, $R = 12$ см.

Теперь можем найти площадь поверхности тела вращения:

$S = \pi R (l_1 + l_2) = \pi \cdot 12 \cdot (13 + 20) = 12\pi \cdot 33 = 396\pi$ см².

Ответ: $396\pi$ см².