Страница 14 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 2

Самостоятельная работа № 1

Декартовы координаты точки в пространстве

1. Точка $K$ принадлежит отрезку $AB$. Известно, что $B (2; -3; 1)$, $K (-2; 1; -3)$. Найдите координаты точки $A$, если:

1) $AK = KB$;

2) $AK : KB = 3 : 4$.

2. Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от точек $A (4; -5; 6)$ и $B (2; 3; -4)$.

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCD A_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$. Известно, что $AB = 4$ см, $AA_1 = 12$ см. Найдите расстояние от точки $A_1$ до центроида тетраэдра $BC_1CD$.

1)

Поскольку $AK = KB$, точка K является серединой отрезка AB. Пусть координаты точки A равны $(x_A, y_A, z_A)$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$
$z_K = \frac{z_A + z_B}{2}$
Отсюда можем выразить координаты точки A:
$x_A = 2x_K - x_B$
$y_A = 2y_K - y_B$
$z_A = 2z_K - z_B$
Подставим известные координаты точек $B(2; -3; 1)$ и $K(-2; 1; -3)$:
$x_A = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$
$y_A = 2(1) - (-3) = 2 + 3 = 5$
$z_A = 2(-3) - 1 = -6 - 1 = -7$
Таким образом, координаты точки A: $(-6; 5; -7)$.

Ответ: A(-6; 5; -7).

2)

Точка K делит отрезок AB в отношении $AK : KB = 3 : 4$. Пусть координаты точки A равны $(x_A, y_A, z_A)$. Координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении $m:n$, находятся по формулам:
$x_K = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$
$y_K = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$
$z_K = \frac{n \cdot z_A + m \cdot z_B}{m+n}$
В нашем случае $m=3$, $n=4$. Формулы принимают вид:
$x_K = \frac{4x_A + 3x_B}{7}$
$y_K = \frac{4y_A + 3y_B}{7}$
$z_K = \frac{4z_A + 3z_B}{7}$
Выразим координаты точки A:
$x_A = \frac{7x_K - 3x_B}{4}$
$y_A = \frac{7y_K - 3y_B}{4}$
$z_A = \frac{7z_K - 3z_B}{4}$
Подставим известные координаты точек $B(2; -3; 1)$ и $K(-2; 1; -3)$:
$x_A = \frac{7(-2) - 3(2)}{4} = \frac{-14 - 6}{4} = \frac{-20}{4} = -5$
$y_A = \frac{7(1) - 3(-3)}{4} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$z_A = \frac{7(-3) - 3(1)}{4} = \frac{-21 - 3}{4} = \frac{-24}{4} = -6$
Таким образом, координаты точки A: $(-5; 4; -6)$.

Ответ: A(-5; 4; -6).

2.

Пусть искомая точка P принадлежит оси абсцисс (оси Ox), тогда её координаты $(x; 0; 0)$. Точка P равноудалена от точек $A(4; -5; 6)$ и $B(2; 3; -4)$, что означает равенство расстояний $PA = PB$, или, что эквивалентно, $PA^2 = PB^2$.
Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.
$PA^2 = (x - 4)^2 + (0 - (-5))^2 + (0 - 6)^2 = (x - 4)^2 + 25 + 36 = (x-4)^2 + 61$.
$PB^2 = (x - 2)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - (-4))^2 = (x - 2)^2 + 9 + 16 = (x-2)^2 + 25$.
Приравняем квадраты расстояний:
$(x-4)^2 + 61 = (x-2)^2 + 25$
$x^2 - 8x + 16 + 61 = x^2 - 4x + 4 + 25$
$x^2 - 8x + 77 = x^2 - 4x + 29$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$77 - 29 = 8x - 4x$
$48 = 4x$
$x = \frac{48}{4} = 12$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(12; 0; 0)$.

Ответ: (12; 0; 0).

3.

Введём декартову систему координат, поместив начало в вершину A. Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD и ось Oz вдоль ребра $AA_1$.
По условию, основание $ABCD$ — квадрат со стороной $AB=4$ см, а боковое ребро $AA_1=12$ см. В выбранной системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:
$A(0; 0; 0)$, $B(4; 0; 0)$, $C(4; 4; 0)$, $D(0; 4; 0)$,
$A_1(0; 0; 12)$, $B_1(4; 0; 12)$, $C_1(4; 4; 12)$, $D_1(0; 4; 12)$.
Найдём координаты центроида тетраэдра $BC_1CD$. Вершины этого тетраэдра: $B(4; 0; 0)$, $C_1(4; 4; 12)$, $C(4; 4; 0)$ и $D(0; 4; 0)$.
Координаты центроида M тетраэдра вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его вершин:
$x_M = \frac{x_B + x_{C_1} + x_C + x_D}{4} = \frac{4+4+4+0}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$y_M = \frac{y_B + y_{C_1} + y_C + y_D}{4} = \frac{0+4+4+4}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$z_M = \frac{z_B + z_{C_1} + z_C + z_D}{4} = \frac{0+12+0+0}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Таким образом, центроид $M$ имеет координаты $(3; 3; 3)$.
Далее найдём расстояние от точки $A_1(0; 0; 12)$ до точки $M(3; 3; 3)$ по формуле расстояния между точками в пространстве:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
$A_1M = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2 + (3-12)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-9)^2} = \sqrt{9+9+81} = \sqrt{99}$
Упростим результат: $\sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = 3\sqrt{11}$.

Ответ: $3\sqrt{11}$ см.

Самостоятельная работа № 2

Векторы в пространстве

1. Найдите точку $C$, являющуюся прообразом точки $C_1 (2; -6; 1)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b} (-8; 4; 3)$. Найдите модуль вектора $\vec{CC_1}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $B (-3; 2; -4)$, $C (3; -2; 1)$ и $D (-6; 4; 2)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $A$.

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На отрезке $DC_1$ отметили точку $M$. Докажите, что векторы $A_1M$, $AC$ и $DA_1$ являются компланарными.

1.

Пусть точка $C$ имеет координаты $(x; y; z)$. Точка $C_1(2; -6; 1)$ является образом точки $C$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b}(-8; 4; 3)$. Это означает, что координаты точки $C_1$ получаются прибавлением соответствующих координат вектора $\vec{b}$ к координатам точки $C$.

$x_{C_1} = x_C + x_b$
$y_{C_1} = y_C + y_b$
$z_{C_1} = z_C + z_b$

Чтобы найти координаты точки $C$ (прообраза), нужно из координат точки $C_1$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{b}$:

$x_C = x_{C_1} - x_b = 2 - (-8) = 2 + 8 = 10$
$y_C = y_{C_1} - y_b = -6 - 4 = -10$
$z_C = z_{C_1} - z_b = 1 - 3 = -2$

Следовательно, координаты точки $C$ равны $(10; -10; -2)$.

Вектор параллельного переноса, который перемещает точку $C$ в точку $C_1$, это и есть вектор $\vec{CC_1}$. По условию, этот перенос осуществляется на вектор $\vec{b}$, значит, $\vec{CC_1} = \vec{b} = (-8; 4; 3)$.

Модуль (длина) вектора $\vec{CC_1}$ вычисляется по формуле:

$|\vec{CC_1}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$|\vec{CC_1}| = \sqrt{(-8)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 16 + 9} = \sqrt{89}$

Ответ: Координаты точки $C(10; -10; -2)$, модуль вектора $|\vec{CC_1}| = \sqrt{89}$.

2.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому векторы, их представляющие, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Пусть искомая вершина $A$ имеет координаты $(x_A; y_A; z_A)$. Координаты данных вершин: $B(-3; 2; -4)$, $C(3; -2; 1)$ и $D(-6; 4; 2)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-3 - x_A; 2 - y_A; -4 - z_A)$

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (3 - (-6); -2 - 4; 1 - 2) = (9; -6; -1)$

Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, то их соответствующие координаты равны. Приравняем их и найдем координаты точки $A$:

$-3 - x_A = 9 \implies x_A = -3 - 9 = -12$
$2 - y_A = -6 \implies y_A = 2 - (-6) = 8$
$-4 - z_A = -1 \implies z_A = -4 - (-1) = -3$

Таким образом, координаты вершины $A$ равны $(-12; 8; -3)$.

Ответ: $A(-12; 8; -3)$.

3.

Векторы являются компланарными, если один из них можно выразить через линейную комбинацию двух других. Докажем, что вектор $\vec{A_1M}$ можно представить в виде $\vec{A_1M} = k \cdot \vec{AC} + l \cdot \vec{DA_1}$ для некоторых чисел $k$ и $l$.

Введем базис из трех некомпланарных векторов, отложенных от одной вершины, например $A$: $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{DA_1}$ через базисные векторы:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{a}$

$\vec{DA_1} = \vec{AA_1} - \vec{AD} = \vec{c} - \vec{a}$

Теперь выразим вектор $\vec{A_1M}$. Точка $M$ лежит на отрезке $DC_1$, следовательно, существует такое число $t \in [0, 1]$, что $\vec{DM} = t \cdot \vec{DC_1}$.

Выразим $\vec{A_1M}$ по правилу многоугольника: $\vec{A_1M} = \vec{A_1A} + \vec{AD} + \vec{DM}$.

$\vec{A_1A} = -\vec{AA_1} = -\vec{c}$

$\vec{AD} = \vec{a}$

$\vec{DM} = t \cdot \vec{DC_1} = t \cdot (\vec{D_1C_1} + \vec{DD_1}) = t \cdot (\vec{AB} + \vec{AA_1}) = t \cdot (\vec{b} + \vec{c})$

Подставляем найденные выражения:

$\vec{A_1M} = -\vec{c} + \vec{a} + t(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} + t\vec{b} + (t-1)\vec{c}$

Теперь проверим, существуют ли такие $k$ и $l$, что $\vec{A_1M} = k \cdot \vec{AC} + l \cdot \vec{DA_1}$:

$\vec{a} + t\vec{b} + (t-1)\vec{c} = k(\vec{a} + \vec{b}) + l(-\vec{a} + \vec{c})$

$\vec{a} + t\vec{b} + (t-1)\vec{c} = (k-l)\vec{a} + k\vec{b} + l\vec{c}$

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ некомпланарны, равенство возможно только при равенстве коэффициентов при них:

$\begin{cases} k - l = 1 \\ k = t \\ l = t-1 \end{cases}$

Подставим значения $k=t$ и $l=t-1$ в первое уравнение системы:

$t - (t-1) = 1$

$t - t + 1 = 1$

$1=1$

Получено тождество, которое верно при любом значении $t$. Это означает, что для любого положения точки $M$ на отрезке $DC_1$ существуют коэффициенты $k=t$ и $l=t-1$, при которых вектор $\vec{A_1M}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DA_1}$. Следовательно, векторы $\vec{A_1M}$, $\vec{AC}$ и $\vec{DA_1}$ компланарны, что и требовалось доказать.

Самостоятельная работа № 3

Сложение и вычитание векторов

1. Даны векторы $\vec{a}$ (4; –5; 6) и $\vec{b}$ (–1; 2; 5). Найдите:

1) координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$;

2) координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$;

3) $|\vec{a} - \vec{b}|.$

2. Упростите выражение $\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB}.$

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{B_1C}$ через векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}.$

1) координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$

Для нахождения координат суммы векторов $\vec{a}(4; -5; 6)$ и $\vec{b}(-1; 2; 5)$ необходимо сложить их соответствующие координаты.
$\vec{a} + \vec{b} = (4 + (-1); -5 + 2; 6 + 5) = (3; -3; 11)$.
Ответ: $(3; -3; 11)$.

2) координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$

Для нахождения координат разности векторов необходимо из координат вектора $\vec{a}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{b}$.
$\vec{a} - \vec{b} = (4 - (-1); -5 - 2; 6 - 5) = (5; -7; 1)$.
Ответ: $(5; -7; 1)$.

3) $|\vec{a} - \vec{b}|$

Модуль (длина) вектора $\vec{a} - \vec{b}$ вычисляется по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, где $(x; y; z)$ - координаты вектора. Координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$ найдены в предыдущем пункте и равны $(5; -7; 1)$.
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75}$.
Упростим корень: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
Ответ: $5\sqrt{3}$.

2.

Для упрощения выражения $\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB}$ воспользуемся правилами действий с векторами. Сгруппируем векторы с общим началом и применим правило вычитания векторов ($\vec{MN} - \vec{MP} = \vec{PN}$):
$\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB} = (\vec{AB} - \vec{AC}) + (\vec{DE} - \vec{DF}) - \vec{FB}$.
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
$\vec{DE} - \vec{DF} = \vec{FE}$.
Подставим полученные результаты в выражение:
$\vec{CB} + \vec{FE} - \vec{FB}$.
Заменим вычитание вектора на сложение с противоположным вектором ($-\vec{FB} = \vec{BF}$):
$\vec{CB} + \vec{FE} + \vec{BF}$.
Перегруппируем слагаемые и применим правило треугольника ($\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$):
$\vec{CB} + (\vec{BF} + \vec{FE}) = \vec{CB} + \vec{BE} = \vec{CE}$.
Ответ: $\vec{CE}$.

3.

Требуется выразить вектор $\vec{B_1C}$ через векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$ в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Воспользуемся правилом разности векторов, приведя их к общему началу в точке A: $\vec{B_1C} = \vec{AC} - \vec{AB_1}$.
Теперь необходимо выразить вектор $\vec{AC}$ через заданные векторы. Из определения сложения векторов в параллелепипеде имеем: $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$.
Так как в параллелепипеде $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$, то $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1}$.
Отсюда выразим $\vec{AC}$: $\vec{AC} = \vec{AC_1} - \vec{AA_1}$.
Подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в исходную формулу для $\vec{B_1C}$:
$\vec{B_1C} = (\vec{AC_1} - \vec{AA_1}) - \vec{AB_1}$.
Таким образом, $\vec{B_1C} = \vec{AC_1} - \vec{AB_1} - \vec{AA_1}$.
Ответ: $\vec{B_1C} = \vec{AC_1} - \vec{AB_1} - \vec{AA_1}$.