Номер 1, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 2

Самостоятельная работа № 1

Декартовы координаты точки в пространстве

1. Точка $K$ принадлежит отрезку $AB$. Известно, что $B (2; -3; 1)$, $K (-2; 1; -3)$. Найдите координаты точки $A$, если:

1) $AK = KB$;

2) $AK : KB = 3 : 4$.

2. Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от точек $A (4; -5; 6)$ и $B (2; 3; -4)$.

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCD A_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$. Известно, что $AB = 4$ см, $AA_1 = 12$ см. Найдите расстояние от точки $A_1$ до центроида тетраэдра $BC_1CD$.

1)

Поскольку $AK = KB$, точка K является серединой отрезка AB. Пусть координаты точки A равны $(x_A, y_A, z_A)$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$
$z_K = \frac{z_A + z_B}{2}$
Отсюда можем выразить координаты точки A:
$x_A = 2x_K - x_B$
$y_A = 2y_K - y_B$
$z_A = 2z_K - z_B$
Подставим известные координаты точек $B(2; -3; 1)$ и $K(-2; 1; -3)$:
$x_A = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$
$y_A = 2(1) - (-3) = 2 + 3 = 5$
$z_A = 2(-3) - 1 = -6 - 1 = -7$
Таким образом, координаты точки A: $(-6; 5; -7)$.

Ответ: A(-6; 5; -7).

2)

Точка K делит отрезок AB в отношении $AK : KB = 3 : 4$. Пусть координаты точки A равны $(x_A, y_A, z_A)$. Координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении $m:n$, находятся по формулам:
$x_K = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$
$y_K = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$
$z_K = \frac{n \cdot z_A + m \cdot z_B}{m+n}$
В нашем случае $m=3$, $n=4$. Формулы принимают вид:
$x_K = \frac{4x_A + 3x_B}{7}$
$y_K = \frac{4y_A + 3y_B}{7}$
$z_K = \frac{4z_A + 3z_B}{7}$
Выразим координаты точки A:
$x_A = \frac{7x_K - 3x_B}{4}$
$y_A = \frac{7y_K - 3y_B}{4}$
$z_A = \frac{7z_K - 3z_B}{4}$
Подставим известные координаты точек $B(2; -3; 1)$ и $K(-2; 1; -3)$:
$x_A = \frac{7(-2) - 3(2)}{4} = \frac{-14 - 6}{4} = \frac{-20}{4} = -5$
$y_A = \frac{7(1) - 3(-3)}{4} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$z_A = \frac{7(-3) - 3(1)}{4} = \frac{-21 - 3}{4} = \frac{-24}{4} = -6$
Таким образом, координаты точки A: $(-5; 4; -6)$.

Ответ: A(-5; 4; -6).

2.

Пусть искомая точка P принадлежит оси абсцисс (оси Ox), тогда её координаты $(x; 0; 0)$. Точка P равноудалена от точек $A(4; -5; 6)$ и $B(2; 3; -4)$, что означает равенство расстояний $PA = PB$, или, что эквивалентно, $PA^2 = PB^2$.
Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.
$PA^2 = (x - 4)^2 + (0 - (-5))^2 + (0 - 6)^2 = (x - 4)^2 + 25 + 36 = (x-4)^2 + 61$.
$PB^2 = (x - 2)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - (-4))^2 = (x - 2)^2 + 9 + 16 = (x-2)^2 + 25$.
Приравняем квадраты расстояний:
$(x-4)^2 + 61 = (x-2)^2 + 25$
$x^2 - 8x + 16 + 61 = x^2 - 4x + 4 + 25$
$x^2 - 8x + 77 = x^2 - 4x + 29$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$77 - 29 = 8x - 4x$
$48 = 4x$
$x = \frac{48}{4} = 12$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(12; 0; 0)$.

Ответ: (12; 0; 0).

3.

Введём декартову систему координат, поместив начало в вершину A. Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD и ось Oz вдоль ребра $AA_1$.
По условию, основание $ABCD$ — квадрат со стороной $AB=4$ см, а боковое ребро $AA_1=12$ см. В выбранной системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:
$A(0; 0; 0)$, $B(4; 0; 0)$, $C(4; 4; 0)$, $D(0; 4; 0)$,
$A_1(0; 0; 12)$, $B_1(4; 0; 12)$, $C_1(4; 4; 12)$, $D_1(0; 4; 12)$.
Найдём координаты центроида тетраэдра $BC_1CD$. Вершины этого тетраэдра: $B(4; 0; 0)$, $C_1(4; 4; 12)$, $C(4; 4; 0)$ и $D(0; 4; 0)$.
Координаты центроида M тетраэдра вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его вершин:
$x_M = \frac{x_B + x_{C_1} + x_C + x_D}{4} = \frac{4+4+4+0}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$y_M = \frac{y_B + y_{C_1} + y_C + y_D}{4} = \frac{0+4+4+4}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$z_M = \frac{z_B + z_{C_1} + z_C + z_D}{4} = \frac{0+12+0+0}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Таким образом, центроид $M$ имеет координаты $(3; 3; 3)$.
Далее найдём расстояние от точки $A_1(0; 0; 12)$ до точки $M(3; 3; 3)$ по формуле расстояния между точками в пространстве:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
$A_1M = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2 + (3-12)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-9)^2} = \sqrt{9+9+81} = \sqrt{99}$
Упростим результат: $\sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = 3\sqrt{11}$.

Ответ: $3\sqrt{11}$ см.