Номер 18, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 18

Тела вращения, описанные около сферы

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $16\pi$ см$^2$. Найдите радиус шара, вписанного в данный цилиндр.

2. Радиус шара, вписанного в конус, равен 12 см, а расстояние от центра шара до вершины конуса — 20 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 9 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

1.

Если в цилиндр вписан шар, то радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу шара $r$, а высота цилиндра $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2r$. Такой цилиндр называется равносторонним.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2\pi R H$.

Подставим в эту формулу соотношения для цилиндра, описанного около шара: $R = r$ и $H = 2r$.

$S_{бок} = 2\pi \cdot r \cdot (2r) = 4\pi r^2$.

По условию задачи, $S_{бок} = 16\pi$ см². Приравняем это значение к полученной формуле:

$4\pi r^2 = 16\pi$.

Разделим обе части уравнения на $4\pi$:

$r^2 = 4$.

Отсюда находим радиус шара (так как радиус не может быть отрицательным):

$r = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

2.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр вписанного шара, $r$ — его радиус, $L$ — образующая конуса, $R$ — радиус основания конуса, $H$ — высота конуса.

Центр $O$ лежит на высоте конуса. По условию, радиус шара $r = 12$ см, а расстояние от центра шара до вершины конуса $SO = 20$ см.

Проведем радиус шара $OK$ в точку касания шара с образующей $SA$. Тогда $OK \perp SA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$. Гипотенуза $SO = 20$ см, катет $OK = r = 12$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $SK$:

$SK = \sqrt{SO^2 - OK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник $\triangle SAB$ с высотой $SO_1 = H$. Прямоугольные треугольники $\triangle SOK$ и $\triangle SO_1A$ подобны по общему острому углу при вершине $S$.

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{OK}{O_1A} = \frac{SO}{SA} = \frac{SK}{SO_1}$

Подставляя известные обозначения: $\frac{r}{R} = \frac{SO}{L} = \frac{SK}{H}$.

Высота конуса $H$ равна сумме расстояния от вершины до центра шара и радиуса шара: $H = SO_1 = SO + OO_1 = 20 + 12 = 32$ см.

Используя соотношение $\frac{SK}{H} = \frac{SO}{L}$, найдем образующую $L$:

$\frac{16}{32} = \frac{20}{L} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{20}{L} \Rightarrow L = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса $R$ из соотношения $\frac{r}{R} = \frac{SO}{L}$:

$\frac{12}{R} = \frac{20}{40} \Rightarrow \frac{12}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow R = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$.

$S_{бок} = \pi \cdot 24 \cdot 40 = 960\pi$ см².

Ответ: $960\pi$ см².

3.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобокая трапеция с вписанной в нее окружностью.

Пусть радиусы оснований усечённого конуса $R_1 = 9$ см и $R_2 = 4$ см, образующая — $L$, высота — $H$.

Для того чтобы в усечённый конус можно было вписать шар, необходимо, чтобы его образующая была равна сумме радиусов оснований. Это свойство следует из того, что в описанной около окружности трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон.

В нашем случае, $2R_1 + 2R_2 = 2L$, откуда $L = R_1 + R_2$.

Найдем образующую усечённого конуса:

$L = 9 + 4 = 13$ см.

Радиус вписанного шара $r$ равен половине высоты усечённого конуса: $r = H/2$. Найдем высоту $H$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это образующая $L$, один катет — высота $H$, а второй катет равен разности радиусов оснований $R_1 - R_2$.

По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R_1 - R_2)^2$.

Подставим известные значения:

$13^2 = H^2 + (9 - 4)^2$

$169 = H^2 + 5^2$

$169 = H^2 + 25$

$H^2 = 169 - 25 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем радиус вписанного шара:

$r = \frac{H}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: радиус шара 6 см, образующая усечённого конуса 13 см.