Номер 20, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 20

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 8 см, а острый угол — $30^\circ$. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

3. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

1. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
1. Найдём площадь основания. Основанием является ромб со стороной $a = 8$ см и острым углом $\alpha = 30°$. Площадь ромба вычисляется по формуле $S = a^2 \sin \alpha$.
$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin 30° = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32$ см².
2. Условие равенства всех двугранных углов при рёбрах основания означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и двугранный угол $\beta = 60°$ связаны соотношением $H = r \cdot \tan \beta$.
3. Найдём радиус вписанной в ромб окружности. Высота ромба $h_{ромб} = a \sin \alpha = 8 \sin 30° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба: $r = \frac{h_{ромб}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
4. Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:
$H = r \cdot \tan 60° = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.
5. Наконец, вычислим объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{64\sqrt{3}}{3}$ см³.

2. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
1. Найдём площадь основания. Основание — равнобедренный треугольник с основанием $a = 6$ см и боковыми сторонами $b = 5$ см. Сначала найдём высоту $h_{тр}$ треугольника, проведённую к основанию, используя теорему Пифагора:
$h_{тр} = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot h_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².
2. Условие, что каждое боковое ребро образует с плоскостью основания одинаковый угол $60°$, означает, что вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и угол наклона бокового ребра $\gamma = 60°$ связаны соотношением $H = R \cdot \tan \gamma$.
3. Найдём радиус описанной окружности $R$ по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника:
$R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48} = \frac{25}{8}$ см.
4. Найдём высоту пирамиды $H$:
$H = R \cdot \tan 60° = \frac{25}{8} \cdot \sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{8}$ см.
5. Вычислим объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{8} = 4 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{8} = \frac{100\sqrt{3}}{8} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ см³.
Ответ: $\frac{25\sqrt{3}}{2}$ см³.

3. Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
1. Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a = 4$ см. Его площадь:
$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см².
2. Двугранный угол при боковом ребре равен $120°$. Построим его линейный угол. Для этого в плоскостях смежных боковых граней ($SAB$ и $SCB$) проведём перпендикуляры $AK$ и $CK$ к их общему ребру $SB$. Угол $\angle AKC$ является линейным углом двугранного угла и равен $120°$.
3. Треугольник $AKC$ — равнобедренный ($AK = CK$), его основание $AC$ — диагональ квадрата в основании пирамиды. Найдём $AC$:
$AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
4. В равнобедренном треугольнике $AKC$ с углом при вершине $120°$ найдём длину боковой стороны $AK$ по теореме косинусов: $AC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 \cdot AK \cdot CK \cdot \cos 120°$.
$(4\sqrt{2})^2 = 2AK^2 - 2AK^2 \cdot (-\frac{1}{2}) \Rightarrow 32 = 2AK^2 + AK^2 = 3AK^2$.
$AK^2 = \frac{32}{3}$.
5. Свяжем полученные данные с высотой пирамиды $H$. Пусть $l$ — длина бокового ребра, $h_s$ — апофема (высота боковой грани). Из прямоугольных треугольников внутри пирамиды имеем:
$l^2 = H^2 + (\frac{AC}{2})^2 = H^2 + (2\sqrt{2})^2 = H^2 + 8$.
$h_s^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 = H^2 + 2^2 = H^2 + 4$.
Площадь боковой грани $SAB$ можно выразить двумя способами: $\frac{1}{2} l \cdot AK = \frac{1}{2} a \cdot h_s$. Отсюда $l^2 \cdot AK^2 = a^2 \cdot h_s^2$. Подставим все выражения:
$(H^2 + 8) \cdot \frac{32}{3} = 4^2 \cdot (H^2 + 4)$.
$(H^2 + 8) \cdot \frac{32}{3} = 16 \cdot (H^2 + 4)$.
Разделим обе части на 16:
$(H^2 + 8) \cdot \frac{2}{3} = H^2 + 4 \Rightarrow 2H^2 + 16 = 3H^2 + 12 \Rightarrow H^2 = 4 \Rightarrow H = 2$ см.
6. Вычислим объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2 = \frac{32}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{32}{3}$ см³.