Номер 3, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Сложение и вычитание векторов

1. Даны векторы $\vec{a}$ (4; –5; 6) и $\vec{b}$ (–1; 2; 5). Найдите:

1) координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$;

2) координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$;

3) $|\vec{a} - \vec{b}|.$

2. Упростите выражение $\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB}.$

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{B_1C}$ через векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}.$

1) координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$

Для нахождения координат суммы векторов $\vec{a}(4; -5; 6)$ и $\vec{b}(-1; 2; 5)$ необходимо сложить их соответствующие координаты.
$\vec{a} + \vec{b} = (4 + (-1); -5 + 2; 6 + 5) = (3; -3; 11)$.
Ответ: $(3; -3; 11)$.

2) координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$

Для нахождения координат разности векторов необходимо из координат вектора $\vec{a}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{b}$.
$\vec{a} - \vec{b} = (4 - (-1); -5 - 2; 6 - 5) = (5; -7; 1)$.
Ответ: $(5; -7; 1)$.

3) $|\vec{a} - \vec{b}|$

Модуль (длина) вектора $\vec{a} - \vec{b}$ вычисляется по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, где $(x; y; z)$ - координаты вектора. Координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$ найдены в предыдущем пункте и равны $(5; -7; 1)$.
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75}$.
Упростим корень: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
Ответ: $5\sqrt{3}$.

2.

Для упрощения выражения $\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB}$ воспользуемся правилами действий с векторами. Сгруппируем векторы с общим началом и применим правило вычитания векторов ($\vec{MN} - \vec{MP} = \vec{PN}$):
$\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB} = (\vec{AB} - \vec{AC}) + (\vec{DE} - \vec{DF}) - \vec{FB}$.
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
$\vec{DE} - \vec{DF} = \vec{FE}$.
Подставим полученные результаты в выражение:
$\vec{CB} + \vec{FE} - \vec{FB}$.
Заменим вычитание вектора на сложение с противоположным вектором ($-\vec{FB} = \vec{BF}$):
$\vec{CB} + \vec{FE} + \vec{BF}$.
Перегруппируем слагаемые и применим правило треугольника ($\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$):
$\vec{CB} + (\vec{BF} + \vec{FE}) = \vec{CB} + \vec{BE} = \vec{CE}$.
Ответ: $\vec{CE}$.

3.

Требуется выразить вектор $\vec{B_1C}$ через векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$ в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Воспользуемся правилом разности векторов, приведя их к общему началу в точке A: $\vec{B_1C} = \vec{AC} - \vec{AB_1}$.
Теперь необходимо выразить вектор $\vec{AC}$ через заданные векторы. Из определения сложения векторов в параллелепипеде имеем: $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$.
Так как в параллелепипеде $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$, то $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1}$.
Отсюда выразим $\vec{AC}$: $\vec{AC} = \vec{AC_1} - \vec{AA_1}$.
Подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в исходную формулу для $\vec{B_1C}$:
$\vec{B_1C} = (\vec{AC_1} - \vec{AA_1}) - \vec{AB_1}$.
Таким образом, $\vec{B_1C} = \vec{AC_1} - \vec{AB_1} - \vec{AA_1}$.
Ответ: $\vec{B_1C} = \vec{AC_1} - \vec{AB_1} - \vec{AA_1}$.