Номер 5, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 5

Умножение вектора на число. Гомотетия

1. Найдите координаты образа точки C (–11; 19; 15) при гомотетии с центром в точке B (3; –2; 8) и коэффициентом гомотетии $k = \frac{4}{7}$.

2. Высота пирамиды равна 24 см. Через точку D, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны 45 $\text{см}^2$ и 320 $\text{см}^2$. Найдите расстояние от точки D до основания данной пирамиды.

3. Дан тетраэдр DABC. Медианы грани ACD пересекаются в точке O. Точка E — середина ребра AB. Выразите вектор $\vec{EO}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$.

1.

Пусть точка $C'(x'; y'; z')$ является образом точки $C(-11; 19; 15)$ при гомотетии с центром в точке $B(3; -2; 8)$ и коэффициентом $k = \frac{4}{7}$.

По определению гомотетии, вектор $\overrightarrow{BC'}$ равен произведению вектора $\overrightarrow{BC}$ на коэффициент гомотетии $k$:

$\overrightarrow{BC'} = k \cdot \overrightarrow{BC}$

Сначала найдем координаты вектора $\overrightarrow{BC}$, вычитая из координат конца (точки $C$) координаты начала (точки $B$):

$\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-11 - 3; 19 - (-2); 15 - 8) = (-14; 21; 7)$.

Теперь умножим координаты вектора $\overrightarrow{BC}$ на коэффициент $k = \frac{4}{7}$:

$k \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{4}{7} \cdot (-14; 21; 7) = (\frac{4}{7} \cdot (-14); \frac{4}{7} \cdot 21; \frac{4}{7} \cdot 7) = (-8; 12; 4)$.

Таким образом, мы получили координаты вектора $\overrightarrow{BC'} = (-8; 12; 4)$.

Зная координаты начала вектора (точки $B$) и самого вектора, найдем координаты его конца (точки $C'$):

$x' - x_B = -8 \Rightarrow x' - 3 = -8 \Rightarrow x' = -5$

$y' - y_B = 12 \Rightarrow y' - (-2) = 12 \Rightarrow y' + 2 = 12 \Rightarrow y' = 10$

$z' - z_B = 4 \Rightarrow z' - 8 = 4 \Rightarrow z' = 12$

Следовательно, координаты образа точки $C$ есть $C'(-5; 10; 12)$.

Ответ: $(-5; 10; 12)$.

2.

Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, $H = 24$ см. Плоскость, проведенная через точку $D$ на высоте, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной.

Основаниями усеченной пирамиды являются основание исходной пирамиды и сечение, проведенное через точку $D$. Пусть их площади равны $S_1 = 320$ см$^2$ (основание большой пирамиды) и $S_2 = 45$ см$^2$ (основание малой, отсеченной пирамиды).

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае коэффициент подобия равен отношению высот малой и большой пирамид. Пусть $h$ — высота малой пирамиды (расстояние от вершины исходной пирамиды до точки $D$). Тогда:

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{h}{H})^2$

Подставим известные значения:

$\frac{45}{320} = (\frac{h}{24})^2$

Сократим дробь в левой части:

$\frac{45}{320} = \frac{9 \cdot 5}{64 \cdot 5} = \frac{9}{64}$

Получаем уравнение:

$(\frac{h}{24})^2 = \frac{9}{64}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\frac{h}{24} = \sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{3}{8}$

Найдем высоту малой пирамиды $h$:

$h = 24 \cdot \frac{3}{8} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Это расстояние от вершины исходной пирамиды до точки $D$. Требуется найти расстояние от точки $D$ до основания данной пирамиды. Это расстояние равно высоте усеченной пирамиды, то есть разности высот большой и малой пирамид:

$d = H - h = 24 - 9 = 15$ см.

Ответ: 15 см.

3.

Для решения задачи введем векторы, отложенные от одной точки. Удобно выбрать в качестве начала точку $B$, так как искомое выражение должно содержать векторы с началом в этой точке.

Точка $O$ — точка пересечения медиан грани $ACD$, то есть ее центроид. Радиус-вектор центроида треугольника равен одной трети от суммы радиус-векторов его вершин. Выразим радиус-вектор точки $O$ относительно точки $B$ (учитывая, что радиус-векторами вершин $A, C, D$ являются $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD}$):

$\overrightarrow{BO} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD})$

Точка $E$ — середина ребра $AB$. Ее радиус-вектор относительно точки $B$ можно найти как полусумму радиус-векторов точек $A$ и $B$. Радиус-вектор точки $B$ относительно самой себя равен нулевому вектору ($\overrightarrow{BB} = \vec{0}$).

$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

Искомый вектор $\overrightarrow{EO}$ можно выразить через разность радиус-векторов его конца (точки $O$) и начала (точки $E$):

$\overrightarrow{EO} = \overrightarrow{BO} - \overrightarrow{BE}$

Подставим найденные выражения для $\overrightarrow{BO}$ и $\overrightarrow{BE}$:

$\overrightarrow{EO} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) - \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми векторами и упростим выражение:

$\overrightarrow{EO} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

$\overrightarrow{EO} = (\frac{2}{6} - \frac{3}{6})\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

$\overrightarrow{EO} = -\frac{1}{6}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

Ответ: $\overrightarrow{EO} = -\frac{1}{6}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$.