Номер 10, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 10

Конус

1. Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и противолежащим к ней углом 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 9 см. Найдите градусную меру дуги этого сектора, если радиус основания конуса равен 3 см.

3. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей среднюю из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Поскольку один из углов равен $120°$, а сумма углов в треугольнике равна $180°$, этот угол должен быть углом при вершине, так как если бы это был угол при основании, то сумма двух углов при основании была бы $240°$, что невозможно. Следовательно, сторона длиной 8 см, лежащая напротив угла $120°$, является основанием этого треугольника и диаметром основания конуса. Боковые стороны треугольника являются образующими конуса.

Диаметр основания конуса $d = 8$ см, значит, радиус основания $r = d/2 = 4$ см.

Пусть $l$ — образующая конуса. Она является боковой стороной в треугольнике осевого сечения. Мы можем найти ее, используя теорему косинусов для этого треугольника:

$d^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(120°)$

$8^2 = 2l^2 - 2l^2 \cdot (-1/2)$

$64 = 2l^2 + l^2$

$64 = 3l^2$

$l = \sqrt{64/3} = 8/\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

$S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$

Подставим найденные значения $r$ и $l$:

$S_{полн} = \pi \cdot 4 \cdot (4 + \frac{8\sqrt{3}}{3}) = 4\pi \left(\frac{12 + 8\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{16\pi(3 + 2\sqrt{3})}{3}$ см².

Ответ: $\frac{16\pi(3 + 2\sqrt{3})}{3}$ см².

2.

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

Из условия задачи нам дано:

Радиус сектора (образующая конуса) $l = 9$ см.

Радиус основания конуса $r = 3$ см.

Сначала найдем длину окружности основания конуса по формуле $C = 2\pi r$:

$C = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$ см.

Длина дуги сектора $L$ с центральным углом $\alpha$ (в градусах) и радиусом $l$ вычисляется по формуле $L = \frac{2\pi l \alpha}{360°}$. Так как $L=C$, мы можем записать:

$6\pi = \frac{2\pi \cdot 9 \cdot \alpha}{360°}$

$6\pi = \frac{18\pi \alpha}{360°}$

Разделим обе части уравнения на $6\pi$:

$1 = \frac{3\alpha}{360°}$

Отсюда находим $\alpha$:

$\alpha = \frac{360°}{3} = 120°$.

Более быстрый способ — использовать соотношение: $\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360°}$.

$\frac{3}{9} = \frac{\alpha}{360°} \implies \frac{1}{3} = \frac{\alpha}{360°} \implies \alpha = \frac{360°}{3} = 120°$.

Ответ: $120°$.

3.

Тело, полученное в результате вращения треугольника вокруг одной из его сторон, будет состоять из двух конусов, имеющих общее основание. Осью вращения является средняя по длине сторона, равная 14 см. Две другие стороны, 13 см и 15 см, становятся образующими этих двух конусов ($l_1 = 13$ см и $l_2 = 15$ см). Радиус $r$ их общего основания равен высоте треугольника, проведенной к стороне, вокруг которой происходит вращение.

Для нахождения высоты (радиуса $r$) сначала вычислим площадь треугольника со сторонами $a=13$, $b=14$, $c=15$ по формуле Герона.

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Площадь треугольника $S_{\Delta} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$:

$S_{\Delta} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Также площадь треугольника можно найти по формуле $S_{\Delta} = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к нему. В нашем случае $b=14$ см, а высота $h$ — это искомый радиус $r$.

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot r$

$84 = 7r$

$r = 12$ см.

Площадь поверхности тела вращения — это сумма площадей боковых поверхностей двух конусов (общее основание находится внутри тела и в площадь поверхности не входит). Формула площади боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi r l$.

$S_{тела} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r(l_1 + l_2)$

Подставим значения $r$, $l_1$ и $l_2$:

$S_{тела} = \pi \cdot 12 \cdot (13 + 15) = 12\pi \cdot 28 = 336\pi$ см².

Ответ: $336\pi$ см².