Номер 7, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Уравнение плоскости

1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (-5; 2; -3)$ и перпендикулярной прямой $AC$, если $A (7; -8; 20)$, $C (5; -2; 16)$.

2. Докажите, что плоскости $7x - 2y + z + 14 = 0$ и $4x + 3y - 22z - 40 = 0$ перпендикулярны.

3. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны 3 см, 1 см и 4 см. Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $BC_1D$.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
По условию, плоскость перпендикулярна прямой AC. Это означает, что вектор $\vec{AC}$ является нормальным вектором для этой плоскости.
Найдем координаты вектора $\vec{AC}$, зная координаты точек A(7; -8; 20) и C(5; -2; 16):
$\vec{AC} = (5-7; -2-(-8); 16-20) = (-2; 6; -4)$.
Таким образом, в качестве нормального вектора $\vec{n}$ можно взять вектор $\vec{AC}$ или любой коллинеарный ему вектор. Для упрощения расчетов возьмем вектор $\vec{n} = \frac{1}{-2}\vec{AC} = (1; -3; 2)$.
Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точку M(-5; 2; -3) с нормальным вектором $\vec{n} = (1; -3; 2)$:
$1(x - (-5)) - 3(y - 2) + 2(z - (-3)) = 0$
$x + 5 - 3y + 6 + 2z + 6 = 0$
$x - 3y + 2z + 17 = 0$
Ответ: $x - 3y + 2z + 17 = 0$

2. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Уравнение первой плоскости: $7x - 2y + z + 14 = 0$. Ее нормальный вектор $\vec{n_1} = (7; -2; 1)$.
Уравнение второй плоскости: $4x + 3y - 22z - 40 = 0$. Ее нормальный вектор $\vec{n_2} = (4; 3; -22)$.
Найдем скалярное произведение этих векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 7 \cdot 4 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot (-22) = 28 - 6 - 22 = 0$.
Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Ответ: Скалярное произведение нормальных векторов равно нулю ($\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$), следовательно, плоскости перпендикулярны.

3. Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку A. Ось Ox направим вдоль ребра AB, ось Oy — вдоль ребра AD, а ось Oz — вдоль ребра AA₁.
В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:
A(0; 0; 0)
B(3; 0; 0) (так как AB = 3)
D(0; 1; 0) (так как AD = 1)
A₁(0; 0; 4) (так как AA₁ = 4)
C₁ имеет координаты, соответствующие вершине C(3; 1; 0), поднятой на высоту AA₁, то есть C₁(3; 1; 4).
Нам нужно найти расстояние от точки A₁(0; 0; 4) до плоскости, проходящей через точки B(3; 0; 0), C₁(3; 1; 4) и D(0; 1; 0).
Сначала составим уравнение плоскости BC₁D. Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DC_1}$:
$\vec{DB} = (3-0; 0-1; 0-0) = (3; -1; 0)$
$\vec{DC_1} = (3-0; 1-1; 4-0) = (3; 0; 4)$
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(3 \cdot 4 - 0 \cdot 3) + \mathbf{k}(3 \cdot 0 - (-1) \cdot 3) = -4\mathbf{i} - 12\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$
Таким образом, $\vec{n} = (-4; -12; 3)$.
Уравнение плоскости имеет вид $-4x - 12y + 3z + D = 0$. Чтобы найти D, подставим координаты любой из точек плоскости, например, D(0; 1; 0):
$-4(0) - 12(1) + 3(0) + D = 0 \Rightarrow -12 + D = 0 \Rightarrow D = 12$.
Уравнение плоскости BC₁D: $-4x - 12y + 3z + 12 = 0$, или, умножив на -1, $4x + 12y - 3z - 12 = 0$.
Расстояние $d$ от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Подставим координаты точки A₁(0; 0; 4) и коэффициенты уравнения плоскости $4x + 12y - 3z - 12 = 0$:
$d = \frac{|4(0) + 12(0) - 3(4) - 12|}{\sqrt{4^2 + 12^2 + (-3)^2}} = \frac{|0 + 0 - 12 - 12|}{\sqrt{16 + 144 + 9}} = \frac{|-24|}{\sqrt{169}} = \frac{24}{13}$.
Ответ: $\frac{24}{13}$ см.