Страница 16 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Уравнение плоскости

1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (-5; 2; -3)$ и перпендикулярной прямой $AC$, если $A (7; -8; 20)$, $C (5; -2; 16)$.

2. Докажите, что плоскости $7x - 2y + z + 14 = 0$ и $4x + 3y - 22z - 40 = 0$ перпендикулярны.

3. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны 3 см, 1 см и 4 см. Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $BC_1D$.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
По условию, плоскость перпендикулярна прямой AC. Это означает, что вектор $\vec{AC}$ является нормальным вектором для этой плоскости.
Найдем координаты вектора $\vec{AC}$, зная координаты точек A(7; -8; 20) и C(5; -2; 16):
$\vec{AC} = (5-7; -2-(-8); 16-20) = (-2; 6; -4)$.
Таким образом, в качестве нормального вектора $\vec{n}$ можно взять вектор $\vec{AC}$ или любой коллинеарный ему вектор. Для упрощения расчетов возьмем вектор $\vec{n} = \frac{1}{-2}\vec{AC} = (1; -3; 2)$.
Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точку M(-5; 2; -3) с нормальным вектором $\vec{n} = (1; -3; 2)$:
$1(x - (-5)) - 3(y - 2) + 2(z - (-3)) = 0$
$x + 5 - 3y + 6 + 2z + 6 = 0$
$x - 3y + 2z + 17 = 0$
Ответ: $x - 3y + 2z + 17 = 0$

2. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Уравнение первой плоскости: $7x - 2y + z + 14 = 0$. Ее нормальный вектор $\vec{n_1} = (7; -2; 1)$.
Уравнение второй плоскости: $4x + 3y - 22z - 40 = 0$. Ее нормальный вектор $\vec{n_2} = (4; 3; -22)$.
Найдем скалярное произведение этих векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 7 \cdot 4 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot (-22) = 28 - 6 - 22 = 0$.
Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Ответ: Скалярное произведение нормальных векторов равно нулю ($\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$), следовательно, плоскости перпендикулярны.

3. Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку A. Ось Ox направим вдоль ребра AB, ось Oy — вдоль ребра AD, а ось Oz — вдоль ребра AA₁.
В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:
A(0; 0; 0)
B(3; 0; 0) (так как AB = 3)
D(0; 1; 0) (так как AD = 1)
A₁(0; 0; 4) (так как AA₁ = 4)
C₁ имеет координаты, соответствующие вершине C(3; 1; 0), поднятой на высоту AA₁, то есть C₁(3; 1; 4).
Нам нужно найти расстояние от точки A₁(0; 0; 4) до плоскости, проходящей через точки B(3; 0; 0), C₁(3; 1; 4) и D(0; 1; 0).
Сначала составим уравнение плоскости BC₁D. Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DC_1}$:
$\vec{DB} = (3-0; 0-1; 0-0) = (3; -1; 0)$
$\vec{DC_1} = (3-0; 1-1; 4-0) = (3; 0; 4)$
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(3 \cdot 4 - 0 \cdot 3) + \mathbf{k}(3 \cdot 0 - (-1) \cdot 3) = -4\mathbf{i} - 12\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$
Таким образом, $\vec{n} = (-4; -12; 3)$.
Уравнение плоскости имеет вид $-4x - 12y + 3z + D = 0$. Чтобы найти D, подставим координаты любой из точек плоскости, например, D(0; 1; 0):
$-4(0) - 12(1) + 3(0) + D = 0 \Rightarrow -12 + D = 0 \Rightarrow D = 12$.
Уравнение плоскости BC₁D: $-4x - 12y + 3z + 12 = 0$, или, умножив на -1, $4x + 12y - 3z - 12 = 0$.
Расстояние $d$ от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Подставим координаты точки A₁(0; 0; 4) и коэффициенты уравнения плоскости $4x + 12y - 3z - 12 = 0$:
$d = \frac{|4(0) + 12(0) - 3(4) - 12|}{\sqrt{4^2 + 12^2 + (-3)^2}} = \frac{|0 + 0 - 12 - 12|}{\sqrt{16 + 144 + 9}} = \frac{|-24|}{\sqrt{169}} = \frac{24}{13}$.
Ответ: $\frac{24}{13}$ см.

Самостоятельная работа № 8

Цилиндр

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащий против диаметра основания, равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Прямоугольник ABCD является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а угол между диагоналями — 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если большая сторона прямоугольника ABCD является высотой цилиндра.

3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны $8 \text{ см}^2$ и $15 \text{ см}^2$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если плоскости проведённых сечений перпендикулярны.

1. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Пусть его стороны — это высота цилиндра $h$ и диаметр основания $d$. Диагонали этого прямоугольника равны $10$ см. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Угол между диагоналями, лежащий против диаметра $d$, равен $120^\circ$.

В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому они образуют две пары равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим треугольник, образованный двумя полудиагоналями (длиной $10/2 = 5$ см) и стороной $d$ (диаметром). Угол между равными сторонами этого треугольника равен $120^\circ$.

По теореме косинусов найдем диаметр $d$:
$d^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) = 25 + 25 - 50 \cdot (-\frac{1}{2}) = 50 + 25 = 75$
$d = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим другой равнобедренный треугольник, образованный теми же полудиагоналями и стороной $h$ (высотой). Угол при вершине этого треугольника будет смежным с углом $120^\circ$, то есть $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Так как это равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, высота цилиндра $h$ равна длине полудиагонали, то есть $h=5$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi d h$.
$S_{бок} = \pi \cdot (5\sqrt{3}) \cdot 5 = 25\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $25\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Развёртка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник $ABCD$. Его стороны равны высоте цилиндра $h$ и длине окружности основания $C = 2\pi r$. Площадь этого прямоугольника равна площади боковой поверхности цилиндра.

Диагональ прямоугольника $d_{p} = 10$ см, а угол между диагоналями равен $60^\circ$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный двумя полудиагоналями (длиной $10/2 = 5$ см) и одной из сторон прямоугольника. Поскольку угол между полудиагоналями равен $60^\circ$, этот треугольник равносторонний. Значит, одна из сторон прямоугольника равна $5$ см.

Найдем вторую сторону прямоугольника по теореме Пифагора, используя прямоугольный треугольник со сторонами (катетами) $a$, $b$ и гипотенузой $d_{p}$:
$a^2 + b^2 = d_{p}^2$
$5^2 + b^2 = 10^2$
$25 + b^2 = 100$
$b^2 = 75 \implies b = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ см.

Стороны прямоугольника равны $5$ см и $5\sqrt{3}$ см. По условию, бóльшая сторона является высотой цилиндра. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $5\sqrt{3} > 5$. Следовательно, высота цилиндра $h = 5\sqrt{3}$ см. Тогда длина окружности основания $C = 5$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
Площадь боковой поверхности — это площадь развёртки: $S_{бок} = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$ см$^2$.
Найдем радиус основания из длины окружности: $C = 2\pi r \implies 5 = 2\pi r \implies r = \frac{5}{2\pi}$ см.
Площадь одного основания: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi (\frac{5}{2\pi})^2 = \pi \frac{25}{4\pi^2} = \frac{25}{4\pi}$ см$^2$.

Таким образом, площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 25\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{25}{4\pi} = 25\sqrt{3} + \frac{25}{2\pi}$ см$^2$.

Ответ: $25\sqrt{3} + \frac{25}{2\pi}$ см$^2$.

3. Сечения, проведенные через одну образующую цилиндра, представляют собой прямоугольники. Одна сторона у этих прямоугольников общая — это образующая (высота) цилиндра $h$. Другие стороны — это хорды в основании цилиндра, выходящие из одной точки.

Пусть длина первой хорды $a$, а второй — $b$. Тогда площади сечений равны:
$S_1 = a \cdot h = 8$ см$^2$
$S_2 = b \cdot h = 15$ см$^2$

Отсюда можем выразить длины хорд: $a = \frac{8}{h}$ и $b = \frac{15}{h}$.

Поскольку плоскости сечений перпендикулярны и проходят через общую образующую, перпендикулярную основанию, то хорды $a$ и $b$ в основании также перпендикулярны. Эти две хорды образуют прямой угол вписанного в окружность основания треугольника. Гипотенуза этого треугольника является диаметром $d$ окружности основания.

По теореме Пифагора для этого треугольника:
$d^2 = a^2 + b^2$
Подставим выражения для $a$ и $b$:
$d^2 = (\frac{8}{h})^2 + (\frac{15}{h})^2 = \frac{64}{h^2} + \frac{225}{h^2} = \frac{289}{h^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем: $d = \frac{17}{h}$, откуда следует, что $d \cdot h = 17$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $d$ и высоте цилиндра $h$. Его площадь $S_{осев} = d \cdot h$.

Следовательно, площадь осевого сечения равна $17$ см$^2$.

Ответ: $17$ см$^2$.