Страница 21 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самастоятельная работа № 19

Объём тела.

Формулы для вычисления объёма призмы

1. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём параллелепипеда.

2. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, $AC = b$, $\angle ABC = \beta$. Угол между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания призмы равен $\alpha$. Найдите объём призмы.

3. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см. Две противолежащие боковые грани параллелепипеда — также прямоугольники со сторонами 5 см и 4 см, а острый угол двух других граней равен 45°. Найдите объём параллелепипеда.

1. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота (боковое ребро). Пусть стороны основания равны $a$ и $b$, тогда $V = a \cdot b \cdot h$. По условию, одна из сторон основания $a = 6$ см, а боковое ребро $h = 4$ см. Диагональ параллелепипеда $D$ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Проекцией диагонали параллелепипеда на плоскость основания является диагональ основания $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $D$, диагональю основания $d$ и боковым ребром $h$. В этом треугольнике $h$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$, а $d$ — прилежащим катетом. Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{d}$ Отсюда найдём диагональ основания $d$: $d = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см. Основанием является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его диагональ $d$ связана со сторонами по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$ Подставим известные значения: $(4\sqrt{3})^2 = 6^2 + b^2$ $16 \cdot 3 = 36 + b^2$ $48 = 36 + b^2$ $b^2 = 48 - 36 = 12$ $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Теперь можем найти объём параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot h = 6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = 48\sqrt{3}$ см$^3$.
Ответ: $48\sqrt{3}$ см$^3$.

2. Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.
1. Найдём площадь основания $S_{ABC}$. Основание — равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=BC$, $AC=b$ и $\angle ABC = \beta$. Для нахождения площади воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\beta) = \frac{1}{2} AB^2 \sin(\beta)$. Чтобы найти сторону $AB$, применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\beta)$ $b^2 = 2AB^2 - 2AB^2 \cos(\beta) = 2AB^2(1 - \cos(\beta))$ Используя формулу $1 - \cos(\beta) = 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$, получаем: $b^2 = 2AB^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 4AB^2\sin^2(\frac{\beta}{2})$ Отсюда $AB = \frac{b}{2\sin(\frac{\beta}{2})}$. Подставим $AB$ в формулу площади и, используя формулу синуса двойного угла $\sin(\beta) = 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$, получим: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \left(\frac{b}{2\sin(\frac{\beta}{2})}\right)^2 \sin(\beta) = \frac{1}{2} \frac{b^2}{4\sin^2(\frac{\beta}{2})} \cdot 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$ $S_{ABC} = \frac{b^2 \cos(\frac{\beta}{2})}{4\sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{b^2}{4} \cot(\frac{\beta}{2})$.
2. Найдём высоту призмы $h$. Угол $\alpha$ между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Проведём в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $BH$ также является медианой. Соединим точки $B_1$ и $H$. $B_1H$ — наклонная, $BH$ — её проекция на плоскость основания. Так как $BH \perp AC$, по теореме о трёх перпендикулярах $B_1H \perp AC$. Следовательно, угол $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $AB_1C$ и $ABC$, то есть $\angle B_1HB = \alpha$. Призма прямая, поэтому боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию, значит $\triangle B_1BH$ — прямоугольный. Высота призмы $h = BB_1$. Из $\triangle B_1BH$: $\tan(\alpha) = \frac{BB_1}{BH} \Rightarrow h = BB_1 = BH \cdot \tan(\alpha)$. Найдём $BH$. В прямоугольном треугольнике $BHC$ катет $HC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$ и угол $\angle HBC = \frac{\beta}{2}$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике: $BH = HC \cdot \cot(\angle HBC) = \frac{b}{2} \cot(\frac{\beta}{2})$. Тогда высота призмы: $h = \frac{b}{2} \cot(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)$.
3. Найдём объём призмы. $V = S_{ABC} \cdot h = \left(\frac{b^2}{4} \cot(\frac{\beta}{2})\right) \cdot \left(\frac{b}{2} \cot(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)\right) = \frac{b^3}{8} \cot^2(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)$.
Ответ: $\frac{b^3}{8} \cot^2(\frac{\beta}{2}) \tan(\alpha)$.

3. Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.
1. Найдём площадь основания. Основанием является прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см. $S_{осн} = 5 \cdot 8 = 40$ см$^2$.
2. Найдём высоту параллелепипеда $H$. Пусть основание — прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=8$ см и $AD=5$ см. Верхнее основание — $A_1B_1C_1D_1$. По условию, две противоположные боковые грани, $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$, являются прямоугольниками со сторонами 5 см и 4 см. Так как $AD=BC=5$ см, то длина бокового ребра равна 4 см, то есть $AA_1 = BB_1 = 4$ см. То, что грань $ADD_1A_1$ — прямоугольник, означает, что боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру основания $AD$. Другие две грани, $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$, являются параллелограммами со сторонами 8 см и 4 см, и их острый угол равен $45^\circ$. Это означает, что угол между рёбрами, образующими эту грань, равен $45^\circ$. Например, $\angle A_1AB = 45^\circ$. Высота параллелепипеда $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки верхнего основания (например, $A_1$) на плоскость нижнего основания. Опустим перпендикуляр $A_1K$ на плоскость $(ABC)$. Тогда $H=A_1K$. Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру основания $AD$, то проекция $AK$ ребра $AA_1$ на плоскость основания должна быть перпендикулярна $AD$. В основании $ABCD$ ребру $AD$ перпендикулярно ребро $AB$. Следовательно, проекция $AK$ лежит на прямой $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1KA$. Гипотенуза $AA_1 = 4$ см. Угол $\angle A_1AK$ — это угол между боковым ребром $AA_1$ и его проекцией $AK$ на плоскость основания. Поскольку $K$ лежит на прямой $AB$, этот угол совпадает с углом $\angle A_1AB$, который по условию равен $45^\circ$. Из треугольника $A_1KA$ находим катет $A_1K = H$: $H = A_1K = AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AK) = 4 \cdot \sin(45^\circ)$. $H = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.
3. Найдём объём параллелепипеда. $V = S_{осн} \cdot H = 40 \cdot 2\sqrt{2} = 80\sqrt{2}$ см$^3$.
Ответ: $80\sqrt{2}$ см$^3$.

Самостоятельная работа № 20

Формулы для вычисления объёмов пирамиды
и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 6 см, а острый угол — $60^\circ$. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом $120^\circ$. Каждое боковое ребро пирамиды равно 17 см. Найдите объём пирамиды.

3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

1.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является ромб со стороной $a=6$ см и острым углом $\alpha=60^\circ$. Площадь ромба равна $S_{осн} = a^2 \sin \alpha = 6^2 \sin 60^\circ = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см².

Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания равны $30^\circ$, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Для ромба — это точка пересечения диагоналей. Радиус вписанной окружности $r$ связан с высотой ромба $h_{ромба}$ как $r = \frac{1}{2}h_{ромба}$. Высота ромба $h_{ромба} = a \sin \alpha = 6 \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. Тогда радиус вписанной окружности $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Высоту пирамиды $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани. Угол между радиусом и апофемой — это и есть заданный двугранный угол $30^\circ$. $H = r \cdot \tan 30^\circ = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Теперь найдём объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 1.5 = 6\sqrt{3} \cdot 1.5 = 9\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $9\sqrt{3}$ см³.

2.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$.

Основанием является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $b=8$ см и углом между ними $\beta=120^\circ$. Найдём площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} b^2 \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$ см².

Поскольку все боковые рёбра пирамиды равны ($l=17$ см), вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности (циркумцентр). Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $H^2 + R^2 = l^2$. Отсюда $H = \sqrt{l^2 - R^2}$.

Найдём радиус описанной окружности $R$. Сначала найдём третью сторону треугольника (основание $c$) по теореме косинусов: $c^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cos 120^\circ = 64 + 64 - 128 \cdot (-\frac{1}{2}) = 128 + 64 = 192$. $c = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см. Радиус описанной окружности найдём по следствию из теоремы синусов: $R = \frac{c}{2\sin\beta} = \frac{8\sqrt{3}}{2\sin 120^\circ} = \frac{8\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 8$ см.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$: $H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Вычислим объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 15 = 16\sqrt{3} \cdot 5 = 80\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $80\sqrt{3}$ см³.

3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$.

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a=6$ см. Площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Двугранный угол при боковом ребре равен $120^\circ$. Чтобы использовать это условие, построим линейный угол этого двугранного угла. Проведём из вершины основания $A$ высоту $AK$ к боковому ребру $SB$. Так как пирамида правильная, то высота из вершины $C$ к ребру $SB$ также попадёт в точку $K$. Тогда $\angle AKC = 120^\circ$ — линейный угол двугранного угла при ребре $SB$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AKC$. $AK=CK$, основание $AC = a = 6$. Проведём в нём высоту $KM$ к основанию $AC$. $M$ — середина $AC$, $MC=3$. Треугольник $KMC$ — прямоугольный, $\angle MKC = \frac{1}{2}\angle AKC = 60^\circ$. Из $\triangle KMC$ найдём $CK$: $CK = \frac{MC}{\sin 60^\circ} = \frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим боковую грань $SBC$. Это равнобедренный треугольник с основанием $BC=6$. $CK = 2\sqrt{3}$ — его высота, проведённая к боковой стороне $SB$. Обозначим боковое ребро $l=SB$. Площадь треугольника $SBC$ можно выразить двумя способами: $S_{SBC} = \frac{1}{2} SB \cdot CK = \frac{1}{2} l \cdot (2\sqrt{3}) = l\sqrt{3}$. С другой стороны, если $SN$ — высота к основанию $BC$, то $S_{SBC} = \frac{1}{2} BC \cdot SN = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{l^2 - 3^2} = 3\sqrt{l^2-9}$. Приравняем выражения для площади: $l\sqrt{3} = 3\sqrt{l^2-9}$. Возведём в квадрат: $3l^2 = 9(l^2-9) \Rightarrow 3l^2 = 9l^2 - 81 \Rightarrow 6l^2 = 81 \Rightarrow l^2 = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$.

Высота правильной пирамиды $H$ связана с боковым ребром $l$ и радиусом $R$ описанной окружности основания соотношением $H^2 + R^2 = l^2$. Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см. Найдём высоту пирамиды $H$: $H^2 = l^2 - R^2 = \frac{27}{2} - (2\sqrt{3})^2 = \frac{27}{2} - 12 = \frac{27-24}{2} = \frac{3}{2}$. $H = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Вычислим объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 3 \sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{9\sqrt{2}}{2}$ см³.