Страница 27 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Комбинации цилиндра с призмой

1. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу этого треугольника, образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

2. В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма, а около него описана правильная треугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, большее основание и боковая сторона которой равны соответственно 27 см и 15 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{370}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

1.

Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. Пусть его катеты равны $a$. По условию, $a = 4$ см. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как цилиндр описан около призмы, его основание — это окружность, описанная около треугольника в основании призмы. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине гипотенузы.

$R = \frac{c}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, образует с плоскостью основания угол 45°. Эта диагональ, гипотенуза основания ($c$) и высота призмы ($H$) образуют прямоугольный треугольник. Поскольку один из острых углов этого треугольника равен 45°, он является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны, то есть высота призмы $H$ равна гипотенузе основания $c$.

$H = c = 4\sqrt{2}$ см.

Высота цилиндра равна высоте призмы, $H_{цил} = H = 4\sqrt{2}$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi R H + 2\pi R^2 = 2\pi R (H + R)$.

$S_{полн} = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} \cdot (4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 4\pi\sqrt{2} \cdot (6\sqrt{2}) = 24\pi \cdot (\sqrt{2})^2 = 24\pi \cdot 2 = 48\pi$ см².

Ответ: $48\pi$ см².

2.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а высота цилиндра и обеих призм равна $H$.

Рассмотрим вписанную правильную четырехугольную призму. Ее основание — квадрат, вписанный в окружность радиуса $R$. Диагональ этого квадрата равна диаметру окружности, то есть $2R$. Пусть сторона квадрата равна $a$. По теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = (2R)^2$, откуда $2a^2 = 4R^2$, и $a = R\sqrt{2}$. Периметр основания вписанной призмы $P_{впис} = 4a = 4R\sqrt{2}$. Площадь боковой поверхности вписанной призмы:

$S_{бок.впис} = P_{впис} \cdot H = 4\sqrt{2}RH$.

Рассмотрим описанную правильную треугольную призму. Ее основание — правильный треугольник, описанный около окружности радиуса $R$. В этом случае $R$ является радиусом вписанной в треугольник окружности. Пусть сторона треугольника равна $b$. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности связан со стороной формулой $R = \frac{b\sqrt{3}}{6}$, откуда $b = \frac{6R}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}R$. Периметр основания описанной призмы $P_{опис} = 3b = 3 \cdot 2\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}R$. Площадь боковой поверхности описанной призмы:

$S_{бок.опис} = P_{опис} \cdot H = 6\sqrt{3}RH$.

Найдем отношение площадей боковых поверхностей вписанной призмы к описанной:

$\frac{S_{бок.впис}}{S_{бок.опис}} = \frac{4\sqrt{2}RH}{6\sqrt{3}RH} = \frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$.

3.

В призму вписан цилиндр, следовательно, в основание призмы (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Это возможно только если суммы длин противоположных сторон равны. Пусть большее основание трапеции $a = 27$ см, боковая сторона $c = 15$ см, а меньшее основание — $b$.

$a + b = c + c \Rightarrow 27 + b = 15 + 15 = 30 \Rightarrow b = 3$ см.

Найдем высоту трапеции $h_{трап}$, которая равна диаметру вписанной окружности (и основания цилиндра). Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Она отсечет прямоугольный треугольник с гипотенузой $c=15$ и катетом $x = \frac{a-b}{2}$.

$x = \frac{27 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту трапеции:

$h_{трап} = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

Диаметр основания цилиндра равен высоте трапеции, $d_{цил} = 9$ см, значит радиус $r = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Теперь найдем высоту призмы $H$. Диагональ призмы $D_{пр}$, диагональ ее основания $d_{осн}$ и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник: $D_{пр}^2 = d_{осн}^2 + H^2$. Сначала найдем квадрат диагонали основания. Диагональ трапеции, ее высота и часть большего основания ($a-x$) образуют прямоугольный треугольник.

$d_{осн}^2 = h_{трап}^2 + (a-x)^2 = 9^2 + (27-12)^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$.

Теперь можем найти высоту призмы $H$:

$H^2 = D_{пр}^2 - d_{осн}^2 = (\sqrt{370})^2 - 306 = 370 - 306 = 64$.

$H = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r H$.

$S_{бок} = 2\pi \cdot 4,5 \cdot 8 = 9\pi \cdot 8 = 72\pi$ см².

Ответ: $72\pi$ см².

Самостоятельная работа № 10

Конус

1. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, высота которого равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, центральный угол которого равен $150^\circ$, а радиус — 12 см. Найдите радиус основания конуса.

3. Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Пусть его сторона равна $a$. Высота такого треугольника $h$ связана со стороной формулой $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. По условию, высота $h = 3\sqrt{3}$ см.

Найдем сторону $a$ равностороннего треугольника:
$3\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$3 = \frac{a}{2}$
$a = 6$ см.

Сторона осевого сечения $a$ является образующей конуса $l$, а половина этой стороны — радиусом основания конуса $r$.
Образующая $l = a = 6$ см.
Радиус основания $r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$.
$S_{полн} = \pi \cdot 3^2 + \pi \cdot 3 \cdot 6 = 9\pi + 18\pi = 27\pi$ см².

Ответ: $27\pi$ см².

2. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

По условию, радиус сектора равен 12 см, следовательно, образующая конуса $l = 12$ см. Центральный угол сектора $\alpha = 150°$.

Длина дуги сектора $L$ вычисляется по формуле $L = \frac{2\pi l \alpha}{360°}$.
$L = \frac{2\pi \cdot 12 \cdot 150°}{360°} = \frac{2\pi \cdot 12 \cdot 5}{12} = 10\pi$ см.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C = 2\pi r$, где $r$ — искомый радиус основания.
$2\pi r = 10\pi$
$r = \frac{10\pi}{2\pi} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

3. Тело вращения, полученное при вращении треугольника вокруг его наибольшей стороны, состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Поверхность этого тела состоит из боковых поверхностей этих двух конусов.

Наибольшая сторона треугольника, вокруг которой происходит вращение, равна 15 см. Две другие стороны, 4 см и 13 см, являются образующими этих конусов: $l_1 = 4$ см, $l_2 = 13$ см.

Радиус общего основания конусов $r$ равен высоте треугольника, проведенной к наибольшей стороне. Найдем эту высоту. Сначала вычислим площадь треугольника по формуле Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Полупериметр $p = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
Площадь треугольника:
$S_{\triangle} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24$ см².

С другой стороны, площадь треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$, где $c=15$ см — основание, а $h_c = r$ — искомая высота (радиус).
$24 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot r$
$r = \frac{24 \cdot 2}{15} = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} = 3,2$ см.

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:
$S_{тела} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.
$S_{тела} = \pi \cdot 3,2 \cdot (4 + 13) = \pi \cdot 3,2 \cdot 17 = 54,4\pi$ см².

Ответ: $54,4\pi$ см².

Самостоятельная работа № 11

Усечённый конус

1. Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 см и 10 см, а высота — 15 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

2. Через середину высоты усечённого конуса проведено сечение, параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна $36 \text{ см}^2$, а площадь меньшего основания — $16 \text{ см}^2$. Найдите площадь большего основания усечённого конуса.

3. В прямоугольном треугольнике катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, противолежащего данному катету, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ – радиусы оснований, а $l$ – длина образующей.

Дано: $R = 10$ см, $r = 2$ см, высота $h = 15$ см.

Сначала найдём длину образующей $l$. Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса – это равнобедренная трапеция. Образующая $l$ является боковой стороной этой трапеции. Если провести высоту из вершины меньшего основания, мы получим прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $(R-r)$, и гипотенузой $l$.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$ $R-r = 10 - 2 = 8$ см. $l^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$ $l = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi(10 + 2) \cdot 17 = \pi \cdot 12 \cdot 17 = 204\pi$ см$^2$.

Ответ: $204\pi$ см$^2$.

2.

Пусть $S_1$, $S_2$ и $S_3$ – площади меньшего основания, сечения и большего основания соответственно. Пусть их радиусы равны $r_1$, $r_2$ и $r_3$.

Для конуса (и усечённого конуса) радиус сечения, параллельного основанию, является линейной функцией высоты, отсчитываемой от вершины исходного полного конуса. Так как сечение проведено через середину высоты усечённого конуса, то три плоскости (меньшее основание, сечение и большее основание) находятся на равном расстоянии друг от друга. Это означает, что их радиусы $r_1, r_2, r_3$ образуют арифметическую прогрессию.

Следовательно, $r_2 = \frac{r_1 + r_3}{2}$.

Площадь круга равна $S = \pi r^2$, откуда $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$. Подставим это в соотношение для радиусов: $\sqrt{\frac{S_2}{\pi}} = \frac{\sqrt{\frac{S_1}{\pi}} + \sqrt{\frac{S_3}{\pi}}}{2}$

Умножив обе части на $\sqrt{\pi}$, получим, что квадратные корни из площадей также образуют арифметическую прогрессию: $\sqrt{S_2} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_3}}{2}$

Подставим известные значения: $S_1 = 16$ см$^2$, $S_2 = 36$ см$^2$. $\sqrt{36} = \frac{\sqrt{16} + \sqrt{S_3}}{2}$ $6 = \frac{4 + \sqrt{S_3}}{2}$ $12 = 4 + \sqrt{S_3}$ $\sqrt{S_3} = 12 - 4 = 8$ $S_3 = 8^2 = 64$ см$^2$.

Ответ: $64$ см$^2$.

3.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катет $BC=a$ и прилежащий к нему острый угол $\angle B = \alpha$. Тогда $\angle A = 90^\circ - \alpha$, катет $AC = BC \tan \alpha = a \tan \alpha$, а гипотенуза $AB = \frac{BC}{\cos \alpha} = \frac{a}{\cos \alpha}$.

Ось вращения $l$ проходит через вершину $A$ (противолежащую катету $a$) и перпендикулярна гипотенузе $AB$. Тело вращения образуется при вращении площади треугольника $ABC$ вокруг оси $l$. Поверхность этого тела образуется при вращении контура треугольника – сторон $AC$, $BC$ и $AB$.

Для удобства расчётов введём систему координат: поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0)$, а ось вращения $l$ совместим с осью $Oy$. Тогда гипотенуза $AB$ будет лежать на оси $Ox$.

Координаты вершин треугольника: $A = (0,0)$ $B = (AB, 0) = (\frac{a}{\cos \alpha}, 0)$ Координаты вершины $C(x_C, y_C)$ найдём из того, что $AC$ образует угол $90^\circ - \alpha$ с осью $Ox$: $x_C = AC \cos(90^\circ-\alpha) = (a \tan \alpha) \sin \alpha = a \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$ $y_C = AC \sin(90^\circ-\alpha) = (a \tan \alpha) \cos \alpha = a \sin \alpha$

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей поверхностей, образованных вращением каждой стороны треугольника:
1. Вращение стороны $AC$ образует боковую поверхность конуса ($S_{AC}$). Радиус основания этого конуса равен расстоянию от точки $C$ до оси вращения, то есть $r_C = x_C$. Образующая – длина $AC$. $S_{AC} = \pi r_C \cdot AC = \pi (a \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}) (a \tan \alpha) = \pi a^2 \frac{\sin^3\alpha}{\cos^2\alpha}$.
2. Вращение стороны $BC$ образует боковую поверхность усечённого конуса ($S_{BC}$). Радиусы его оснований – расстояния от точек $B$ и $C$ до оси вращения: $r_B = x_B$ и $r_C = x_C$. Образующая – длина $BC$. $S_{BC} = \pi (r_B + r_C) \cdot BC = \pi (\frac{a}{\cos \alpha} + a \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}) \cdot a = \frac{\pi a^2(1+\sin^2\alpha)}{\cos\alpha}$.
3. Вращение гипотенузы $AB$ образует круг ($S_{AB}$), так как точка $A$ лежит на оси вращения. Радиус этого круга равен длине $AB$. $S_{AB} = \pi (AB)^2 = \pi (\frac{a}{\cos \alpha})^2 = \frac{\pi a^2}{\cos^2\alpha}$.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме этих площадей: $S = S_{AC} + S_{BC} + S_{AB} = \pi a^2 \frac{\sin^3\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\pi a^2(1+\sin^2\alpha)}{\cos\alpha} + \frac{\pi a^2}{\cos^2\alpha}$.

Приведём всё к общему знаменателю $\cos^2\alpha$: $S = \frac{\pi a^2}{\cos^2\alpha} [\sin^3\alpha + (1+\sin^2\alpha)\cos\alpha + 1]$. $S = \frac{\pi a^2}{\cos^2\alpha} [1 + \cos\alpha + \sin^3\alpha + \sin^2\alpha\cos\alpha]$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{\cos^2\alpha} (1 + \cos\alpha + \sin^3\alpha + \sin^2\alpha\cos\alpha)$.