Страница 23 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 23

Объёмы тел вращения. Площадь сферы

1. Два шара имеют общий центр. Найдите радиус большего шара, если радиус меньшего шара равен 3 см, а объём тела, содержащегося между поверхностями этих шаров, равен $252\pi$ см$^3$.

2. Плоскость, находящаяся на расстоянии 8 см от центра шара, пересекает его поверхность по линии, длина которой равна $12\pi$ см. Найдите:

1) площадь поверхности шара;

2) площадь сферической части поверхности большего из образовавшихся шаровых сегментов.

3. Расстояние между центрами двух шаров равно 21 см, а их радиусы равны 10 см и 17 см. Найдите объём общей части данных шаров.

1. Объём тела, содержащегося между поверхностями двух концентрических шаров, равен разности объёмов большего и меньшего шаров.

Обозначим радиус большего шара как $R$, а радиус меньшего шара как $r$. По условию $r = 3$ см. Объём шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Объём меньшего шара: $V_r = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ см³.

Объём тела между поверхностями шаров ($V_{тела}$) равен разности объёмов большего и меньшего шаров ($V_R - V_r$). По условию, $V_{тела} = 252\pi$ см³.

Составим и решим уравнение:

$V_R - V_r = 252\pi$

$\frac{4}{3}\pi R^3 - 36\pi = 252\pi$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{4}{3}R^3 - 36 = 252$

$\frac{4}{3}R^3 = 252 + 36$

$\frac{4}{3}R^3 = 288$

$R^3 = 288 \cdot \frac{3}{4}$

$R^3 = 72 \cdot 3$

$R^3 = 216$

$R = \sqrt[3]{216} = 6$ см.

Ответ: радиус большего шара равен 6 см.

2. Сначала найдём радиус $R$ шара. Плоскость пересекает сферу по окружности. Длина этой окружности $C$ связана с её радиусом $r$ формулой $C = 2\pi r$. По условию $C = 12\pi$ см.

$12\pi = 2\pi r \implies r = \frac{12\pi}{2\pi} = 6$ см.

Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до плоскости $d$ (по условию $d=8$ см) и радиус сечения $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.

$R^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$R = \sqrt{100} = 10$ см.

1) Найдём площадь поверхности шара. Формула площади поверхности сферы: $S = 4\pi R^2$.

$S = 4\pi (10)^2 = 4\pi \cdot 100 = 400\pi$ см².

Ответ: площадь поверхности шара равна $400\pi$ см².

2) Найдём площадь сферической части поверхности большего из образовавшихся шаровых сегментов.

Плоскость делит шар на два сегмента. Высота меньшего сегмента $h_1 = R - d = 10 - 8 = 2$ см. Высота большего сегмента $h_2$ равна диаметру шара минус высота меньшего сегмента: $h_2 = 2R - h_1 = 2 \cdot 10 - 2 = 18$ см.

Площадь сферической части (сферического сегмента) вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi R h$.

Для большего сегмента $h = h_2 = 18$ см.

$S_{большего} = 2\pi R h_2 = 2\pi \cdot 10 \cdot 18 = 360\pi$ см².

Ответ: площадь сферической части поверхности большего сегмента равна $360\pi$ см².

3. Общая часть двух пересекающихся шаров состоит из двух шаровых сегментов, соединённых по общему основанию (кругу).

Обозначим радиусы шаров $R_1 = 10$ см и $R_2 = 17$ см, а расстояние между их центрами $d = 21$ см.

Пусть плоскость общего основания находится на расстоянии $x$ от центра первого шара. Тогда расстояние от этой плоскости до центра второго шара будет $d-x = 21-x$. Радиус общего основания обозначим как $r$.

Используя теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников, образованных радиусами шаров, радиусом сечения и расстояниями от центров до сечения, составим систему уравнений:

$\begin{cases} R_1^2 = x^2 + r^2 \\ R_2^2 = (d-x)^2 + r^2 \end{cases} \implies \begin{cases} 10^2 = x^2 + r^2 \\ 17^2 = (21-x)^2 + r^2 \end{cases}$

Выразим $r^2$ из первого уравнения: $r^2 = 100 - x^2$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$17^2 = (21-x)^2 + 100 - x^2$

$289 = (441 - 42x + x^2) + 100 - x^2$

$289 = 541 - 42x$

$42x = 541 - 289$

$42x = 252$

$x = \frac{252}{42} = 6$ см.

Теперь найдём высоты шаровых сегментов. Высота сегмента — это расстояние от плоскости основания до наиболее удалённой точки на поверхности сегмента.

Высота первого сегмента: $h_1 = R_1 - x = 10 - 6 = 4$ см.

Высота второго сегмента: $h_2 = R_2 - (d-x) = 17 - (21-6) = 17 - 15 = 2$ см.

Объём шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сегм} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

Вычислим объём первого сегмента:

$V_1 = \pi h_1^2 (R_1 - \frac{h_1}{3}) = \pi \cdot 4^2 (10 - \frac{4}{3}) = 16\pi (\frac{30-4}{3}) = 16\pi \cdot \frac{26}{3} = \frac{416\pi}{3}$ см³.

Вычислим объём второго сегмента:

$V_2 = \pi h_2^2 (R_2 - \frac{h_2}{3}) = \pi \cdot 2^2 (17 - \frac{2}{3}) = 4\pi (\frac{51-2}{3}) = 4\pi \cdot \frac{49}{3} = \frac{196\pi}{3}$ см³.

Общий объём пересечения равен сумме объёмов двух сегментов:

$V = V_1 + V_2 = \frac{416\pi}{3} + \frac{196\pi}{3} = \frac{612\pi}{3} = 204\pi$ см³.

Ответ: объём общей части данных шаров равен $204\pi$ см³.