Страница 30 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 16

Многогранники, описанные около сферы

1. Найдите радиус шара, вписанного в правильную тре-угольную пирамиду, если радиус окружности, описан-ной около её основания, равен $m$, а двугранный угол пи-рамиды при ребре основания равен $\beta$.

2. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь боко-вой поверхности призмы, если площадь её основания равна 12 см$^2$.

3. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $24\sqrt{3}$ см, а центр шара, вписанного в пирамиду, делит её высоту в отношении 5 : 4, считая от вершины пирамиды. Найдите высоту пирамиды.

1.

Пусть $r$ — искомый радиус вписанного шара. В правильной треугольной пирамиде центр вписанного шара лежит на ее высоте. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $SO$ и апофему боковой грани $SM$. Это сечение является прямоугольным треугольником $SOM$ (с прямым углом при вершине $O$).

В этом треугольнике отрезок $OM$ является радиусом окружности, вписанной в основание пирамиды ($r_{осн}$), а угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания, то есть $\angle SMO = \beta$.

В основании лежит правильный треугольник. Для него радиус описанной окружности $R_{осн}$ и радиус вписанной окружности $r_{осн}$ связаны соотношением $R_{осн} = 2r_{осн}$. По условию $R_{осн} = m$, следовательно, $r_{осн} = OM = \frac{m}{2}$.

Центр вписанного шара $I$ равноудален от всех граней пирамиды. Он лежит на высоте $SO$. Также он лежит в биссекторной плоскости двугранного угла при ребре основания. В нашем сечении $SOM$ это означает, что точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OIM$, который является частью треугольника $SOM$. В нем катет $OI$ равен радиусу вписанного шара $r$, катет $OM = \frac{m}{2}$, а угол $\angle OMI$ равен половине двугранного угла, то есть $\angle OMI = \frac{\beta}{2}$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике $OIM$ имеем:

$\tan(\angle OMI) = \frac{OI}{OM}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{r}{\frac{m}{2}}$

Отсюда выражаем радиус $r$:

$r = \frac{m}{2} \tan(\frac{\beta}{2})$

Ответ: $r = \frac{m}{2} \tan(\frac{\beta}{2})$

2.

Для того чтобы в прямую призму можно было вписать шар, необходимо выполнение двух условий: 1) в основание призмы можно вписать окружность; 2) высота призмы $H$ равна диаметру вписанного шара $2r$, где $r$ — радиус шара.

Радиус окружности, вписанной в основание, также равен радиусу шара $r$.

Площадь основания призмы ($S_{осн}$), если в него можно вписать окружность, вычисляется по формуле:

$S_{осн} = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр основания ($p = \frac{P_{осн}}{2}$).

Таким образом, $S_{осн} = \frac{P_{осн} \cdot r}{2}$. Отсюда можно выразить периметр основания: $P_{осн} = \frac{2S_{осн}}{r}$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Подставим в эту формулу выражения для $P_{осн}$ и $H=2r$:

$S_{бок} = \left(\frac{2S_{осн}}{r}\right) \cdot (2r) = 4S_{осн}$.

По условию задачи площадь основания $S_{осн} = 12 \text{ см}^2$.

Тогда площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.

3.

Пусть $SO = H$ — высота правильной треугольной пирамиды. Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте $SO$. По условию, точка $I$ делит высоту $SO$ в отношении $5:4$, считая от вершины $S$. Следовательно, $SI:IO = 5:4$.

Обозначим $SI = 5x$ и $IO = 4x$. Тогда вся высота $H = SO = SI + IO = 5x + 4x = 9x$.

Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от его центра $I$ до плоскости основания, то есть $r = IO = 4x$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $SO$ и апофему $SM$ (где $M$ — середина ребра основания). Это сечение — прямоугольный треугольник $SOM$.

Отрезок $OM$ является радиусом окружности, вписанной в основание ($r_{осн}$). Сторона основания $a = 24\sqrt{3}$ см. Для правильного треугольника:

$r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 12$ см.

В сечении $SOM$ проведем из точки $I$ перпендикуляр $IK$ к апофеме $SM$. Длина этого перпендикуляра равна радиусу вписанного шара, $IK = r = 4x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SIK$ (прямой угол при вершине $K$). Его гипотенуза $SI = 5x$, а катет $IK = 4x$. Угол $\angle ISK$ в этом треугольнике совпадает с углом $\angle OSM$ в треугольнике $SOM$. Найдем синус этого угла:

$\sin(\angle OSM) = \sin(\angle ISK) = \frac{IK}{SI} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$.

Зная синус острого угла $\angle OSM$, найдем его тангенс:

$\cos(\angle OSM) = \sqrt{1 - \sin^2(\angle OSM)} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

$\tan(\angle OSM) = \frac{\sin(\angle OSM)}{\cos(\angle OSM)} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $SOM$. Из него:

$\tan(\angle OSM) = \frac{OM}{SO} = \frac{r_{осн}}{H}$.

Подставим известные значения:

$\frac{4}{3} = \frac{12}{H}$.

Решим уравнение относительно $H$:

$4H = 3 \cdot 12 \implies 4H = 36 \implies H = 9$ см.

Ответ: $9$ см.

Самостоятельная работа № 17

Тела вращения, вписанные в сферу

1. В шар, радиус которого равен 7 см, вписан цилиндр, высота которого равна диаметру его основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а угол между образующей усечённого конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

3. Радиус основания конуса равен 4 см, а радиус шара, описанного около данного конуса, — 5 см. Найдите высоту конуса.

1.

Обозначим радиус шара как $R_{ш}$, радиус основания цилиндра как $r_{ц}$, а высоту цилиндра как $h_{ц}$. По условию, $R_{ш} = 7$ см, а высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть $h_{ц} = 2r_{ц}$.

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него цилиндра. В сечении получится прямоугольник (осевое сечение цилиндра) с высотой $h_{ц}$ и шириной $2r_{ц}$, вписанный в большую окружность шара радиусом $R_{ш}$. Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара.

Свяжем радиус шара с размерами цилиндра с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r_{ц}$ и половина его высоты $h_{ц}/2$, а гипотенузой — радиус шара $R_{ш}$.

$R_{ш}^2 = r_{ц}^2 + (\frac{h_{ц}}{2})^2$

Так как $h_{ц} = 2r_{ц}$, то $\frac{h_{ц}}{2} = r_{ц}$. Подставим это в уравнение:

$R_{ш}^2 = r_{ц}^2 + r_{ц}^2 = 2r_{ц}^2$

Подставим известное значение радиуса шара $R_{ш} = 7$ см:

$7^2 = 2r_{ц}^2$

$49 = 2r_{ц}^2$

$r_{ц}^2 = \frac{49}{2}$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r_{ц} h_{ц}$. Используя условие $h_{ц} = 2r_{ц}$, получим:

$S_{бок} = 2\pi r_{ц} (2r_{ц}) = 4\pi r_{ц}^2$

Теперь подставим найденное значение $r_{ц}^2$:

$S_{бок} = 4\pi \cdot \frac{49}{2} = 2 \cdot 49 \pi = 98\pi$ см².

Ответ: $98\pi$ см².

2.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса и описанного около него шара. Сечением будет равнобокая трапеция, вписанная в большую окружность шара. Радиус этой окружности и есть искомый радиус шара, обозначим его $R_{ш}$.

Пусть радиусы оснований трапеции равны $R$ и $r$, боковая сторона (образующая конуса) равна $l$, а высота трапеции (высота конуса) равна $h$.

Угол $\alpha$ между образующей и высотой усечённого конуса в осевом сечении является углом между боковой стороной трапеции и её осью симметрии. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, образующей $l$ и отрезком, равным разности радиусов $(R-r)$, имеем:

$\sin\alpha = \frac{R-r}{l}$, откуда $l = \frac{R-r}{\sin\alpha}$.

Также $\cos\alpha = \frac{h}{l}$, откуда $h=l\cos\alpha$.

Радиус шара $R_{ш}$ равен радиусу окружности, описанной около трапеции. Для нахождения этого радиуса воспользуемся методом, основанным на свойстве вписанной трапеции. Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобокой. Рассмотрим треугольник, образованный диагональю трапеции $d$, её боковой стороной $l$ и большим основанием $2R$. Радиус описанной окружности для этого треугольника совпадает с $R_{ш}$.

По теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника (нашей трапеции), произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: $d^2 = (2R)(2r) + l^2 = 4Rr + l^2$.

Угол между боковой стороной $l$ и большим основанием $2R$ равен $\beta$. Из того же прямоугольного треугольника, что и ранее, $\beta = 90^\circ - \alpha$.

По теореме синусов для треугольника со сторонами $d$, $l$ и $2R$, радиус описанной окружности:

$R_{ш} = \frac{d}{2\sin\beta} = \frac{\sqrt{4Rr+l^2}}{2\sin(90^\circ-\alpha)} = \frac{\sqrt{4Rr+l^2}}{2\cos\alpha}$.

Подставим выражение для $l$:

$R_{ш} = \frac{\sqrt{4Rr + \left(\frac{R-r}{\sin\alpha}\right)^2}}{2\cos\alpha}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{4Rr + \left(\frac{R-r}{\sin\alpha}\right)^2}}{2\cos\alpha}$.

3.

Обозначим радиус основания конуса как $r_{к}$, высоту конуса как $h_{к}$, а радиус описанного шара как $R_{ш}$. По условию, $r_{к} = 4$ см, $R_{ш} = 5$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного шара. Сечением является равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность шара. Основание треугольника равно диаметру основания конуса $2r_{к}$, высота треугольника равна высоте конуса $h_{к}$, а радиус описанной окружности равен радиусу шара $R_{ш}$.

Пусть $O$ — центр шара, $D$ — центр основания конуса. Точки $O$ и $D$ лежат на оси конуса, которая также является высотой треугольника в сечении. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром шара $O$, центром основания конуса $D$ и точкой $C$ на окружности основания конуса. В этом треугольнике $OC$ — радиус шара, $DC$ — радиус основания конуса, а $OD$ — расстояние от центра шара до плоскости основания конуса.

По теореме Пифагора:

$OC^2 = OD^2 + DC^2$

$R_{ш}^2 = OD^2 + r_{к}^2$

$5^2 = OD^2 + 4^2$

$25 = OD^2 + 16$

$OD^2 = 9 \implies OD = 3$ см.

Высота конуса $h_{к}$ состоит из отрезка $OD$ и радиуса шара, проведенного к вершине конуса. Возможны два случая в зависимости от того, находится ли центр шара $O$ внутри конуса (между вершиной и основанием) или вне его.

Случай 1: Центр шара находится между вершиной конуса и его основанием. Это соответствует случаю, когда осевое сечение (треугольник) является остроугольным. Тогда высота конуса равна сумме радиуса шара и расстояния $OD$.

$h_{к} = R_{ш} + OD = 5 + 3 = 8$ см.

Случай 2: Основание конуса находится между вершиной и центром шара. Это соответствует случаю, когда осевое сечение является тупоугольным треугольником. Тогда высота конуса равна разности радиуса шара и расстояния $OD$.

$h_{к} = R_{ш} - OD = 5 - 3 = 2$ см.

Поскольку в условии задачи нет уточнений, оба случая являются допустимыми решениями.

Ответ: 8 см или 2 см.

Самостоятельная работа № 18

Тела вращения, описанные около сферы

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $36\pi$ см$^2$. Найдите радиус шара, вписанного в данный цилиндр.

2. Центр шара, вписанного в конус, делит его высоту на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 см и 8 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

1.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра. По условию, $S_{бок} = 36\pi$ см². Следовательно, $2\pi R H = 36\pi$, откуда получаем $R H = 18$.

В цилиндр можно вписать шар только в том случае, если высота цилиндра равна его диаметру, то есть $H = 2R$. Радиус вписанного шара $r$ при этом равен радиусу основания цилиндра: $r = R$.

Подставим соотношение $H = 2R$ в уравнение $R H = 18$: $R \cdot (2R) = 18$ $2R^2 = 18$ $R^2 = 9$ $R = 3$ см.

Так как радиус вписанного шара равен радиусу основания цилиндра, то $r = R = 3$ см.

Ответ: 3 см.

2.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота конуса $H$ является высотой этого треугольника, а центр вписанной окружности (центр шара) лежит на этой высоте.

Согласно условию, центр шара делит высоту конуса на отрезки длиной 34 см и 16 см. Расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до основания равно радиусу этой окружности. Таким образом, радиус вписанного шара $r$ равен меньшему из отрезков, то есть $r = 16$ см.

Высота конуса $H$ равна сумме длин этих отрезков: $H = 34 + 16 = 50$ см.

Пусть $R$ – радиус основания конуса, а $L$ – его образующая. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$. Также рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный отрезком от вершины конуса до центра шара (длиной 34 см), радиусом шара $r$ (перпендикулярным к образующей в точке касания) и частью образующей от вершины до точки касания. Эти два треугольника подобны по острому углу (углу при вершине конуса).

Из подобия треугольников следует отношение их сторон: $\frac{r}{R} = \frac{34}{L}$ и $\frac{L_{касания}}{H} = \frac{r}{R}$, где $L_{касания}$ - это катет второго треугольника. Найдем $L_{касания}$ по теореме Пифагора: $L_{касания} = \sqrt{34^2 - r^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{(34-16)(34+16)} = \sqrt{18 \cdot 50} = \sqrt{900} = 30$ см.

Из подобия треугольников имеем соотношение: $\frac{r}{R} = \frac{L_{касания}}{H}$ $\frac{16}{R} = \frac{30}{50}$ $R = \frac{16 \cdot 50}{30} = \frac{80}{3}$ см.

Также из подобия: $\frac{34}{L} = \frac{L_{касания}}{H}$ $\frac{34}{L} = \frac{30}{50}$ $L = \frac{34 \cdot 50}{30} = \frac{170}{3}$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$. $S_{бок} = \pi \cdot \frac{80}{3} \cdot \frac{170}{3} = \frac{13600\pi}{9}$ см².

Ответ: $\frac{13600\pi}{9}$ см².

3.

В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда его образующая $L$ равна сумме радиусов оснований $r_1$ и $r_2$. По условию, $r_1 = 2$ см и $r_2 = 8$ см.

Найдем образующую усеченного конуса: $L = r_1 + r_2 = 2 + 8 = 10$ см.

Диаметр вписанного шара равен высоте усеченного конуса $H$. Таким образом, радиус шара $r = \frac{H}{2}$. Для нахождения высоты $H$ рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $2r_1 = 4$ см и $2r_2 = 16$ см и боковыми сторонами, равными $L = 10$ см.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $L$, одним катетом – высота $H$, а другим катетом – разность радиусов оснований $r_2 - r_1$.

По теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$ $10^2 = H^2 + (8 - 2)^2$ $100 = H^2 + 6^2$ $100 = H^2 + 36$ $H^2 = 100 - 36 = 64$ $H = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем радиус вписанного шара: $r = \frac{H}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: радиус шара равен 4 см, образующая усеченного конуса равна 10 см.