Номер 18, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 18

Тела вращения, описанные около сферы

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $36\pi$ см$^2$. Найдите радиус шара, вписанного в данный цилиндр.

2. Центр шара, вписанного в конус, делит его высоту на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 см и 8 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

1.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра. По условию, $S_{бок} = 36\pi$ см². Следовательно, $2\pi R H = 36\pi$, откуда получаем $R H = 18$.

В цилиндр можно вписать шар только в том случае, если высота цилиндра равна его диаметру, то есть $H = 2R$. Радиус вписанного шара $r$ при этом равен радиусу основания цилиндра: $r = R$.

Подставим соотношение $H = 2R$ в уравнение $R H = 18$: $R \cdot (2R) = 18$ $2R^2 = 18$ $R^2 = 9$ $R = 3$ см.

Так как радиус вписанного шара равен радиусу основания цилиндра, то $r = R = 3$ см.

Ответ: 3 см.

2.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота конуса $H$ является высотой этого треугольника, а центр вписанной окружности (центр шара) лежит на этой высоте.

Согласно условию, центр шара делит высоту конуса на отрезки длиной 34 см и 16 см. Расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до основания равно радиусу этой окружности. Таким образом, радиус вписанного шара $r$ равен меньшему из отрезков, то есть $r = 16$ см.

Высота конуса $H$ равна сумме длин этих отрезков: $H = 34 + 16 = 50$ см.

Пусть $R$ – радиус основания конуса, а $L$ – его образующая. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$. Также рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный отрезком от вершины конуса до центра шара (длиной 34 см), радиусом шара $r$ (перпендикулярным к образующей в точке касания) и частью образующей от вершины до точки касания. Эти два треугольника подобны по острому углу (углу при вершине конуса).

Из подобия треугольников следует отношение их сторон: $\frac{r}{R} = \frac{34}{L}$ и $\frac{L_{касания}}{H} = \frac{r}{R}$, где $L_{касания}$ - это катет второго треугольника. Найдем $L_{касания}$ по теореме Пифагора: $L_{касания} = \sqrt{34^2 - r^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{(34-16)(34+16)} = \sqrt{18 \cdot 50} = \sqrt{900} = 30$ см.

Из подобия треугольников имеем соотношение: $\frac{r}{R} = \frac{L_{касания}}{H}$ $\frac{16}{R} = \frac{30}{50}$ $R = \frac{16 \cdot 50}{30} = \frac{80}{3}$ см.

Также из подобия: $\frac{34}{L} = \frac{L_{касания}}{H}$ $\frac{34}{L} = \frac{30}{50}$ $L = \frac{34 \cdot 50}{30} = \frac{170}{3}$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$. $S_{бок} = \pi \cdot \frac{80}{3} \cdot \frac{170}{3} = \frac{13600\pi}{9}$ см².

Ответ: $\frac{13600\pi}{9}$ см².

3.

В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда его образующая $L$ равна сумме радиусов оснований $r_1$ и $r_2$. По условию, $r_1 = 2$ см и $r_2 = 8$ см.

Найдем образующую усеченного конуса: $L = r_1 + r_2 = 2 + 8 = 10$ см.

Диаметр вписанного шара равен высоте усеченного конуса $H$. Таким образом, радиус шара $r = \frac{H}{2}$. Для нахождения высоты $H$ рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $2r_1 = 4$ см и $2r_2 = 16$ см и боковыми сторонами, равными $L = 10$ см.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $L$, одним катетом – высота $H$, а другим катетом – разность радиусов оснований $r_2 - r_1$.

По теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$ $10^2 = H^2 + (8 - 2)^2$ $100 = H^2 + 6^2$ $100 = H^2 + 36$ $H^2 = 100 - 36 = 64$ $H = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем радиус вписанного шара: $r = \frac{H}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: радиус шара равен 4 см, образующая усеченного конуса равна 10 см.