Номер 19, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 19

Объём тела.

Формулы для вычисления объёма призмы

1. Меньшая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, а угол между диагоналями основания равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда, если его диагональ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

2. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$, $\angle BAC = \alpha$. Угол между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания призмы равен $\gamma$. Найдите объём призмы.

3. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см. Две противоположные боковые грани параллелепипеда — квадраты со стороной 4 см, а острый угол двух других граней равен $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

1. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.
Основанием является прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$. По условию, меньшая сторона $a = 6$ см. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Угол между диагоналями равен $60^\circ$. Треугольник, образованный половинами диагоналей и меньшей стороной, является равнобедренным с углом $60^\circ$ при вершине, а значит, он равносторонний. Следовательно, половина диагонали основания равна меньшей стороне.
$\frac{d_{осн}}{2} = a = 6$ см.
Отсюда диагональ основания $d_{осн} = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Найдем вторую сторону основания $b$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = d_{осн}^2$.
$6^2 + b^2 = 12^2$
$36 + b^2 = 144$
$b^2 = 108 \implies b = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.
Диагональ параллелепипеда, его высота $h$ и диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен $30^\circ$. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$, а диагональ основания $d_{осн}$ — прилежащим катетом.
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{d_{осн}}$
$h = d_{осн} \cdot \tan(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь найдем объем параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot h = 36\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 144 \cdot 3 = 432$ см$^3$.
Ответ: $432 \text{ см}^3$.

2. Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.
Основание призмы — равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$ и $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Угол при вершине $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.
Найдем площадь основания:
$S_{осн} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha) = \frac{1}{2}a^2 \sin(2\alpha)$.
Угол $\gamma$ между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Для его измерения проведем высоту $BH$ в треугольнике $ABC$. Так как призма прямая ($BB_1 \perp$ пл. $ABC$), то по теореме о трех перпендикулярах $B_1H \perp AC$. Таким образом, $\angle B_1HB = \gamma$ является линейным углом этого двугранного угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем $BH = AB \cdot \sin(\angle BAC) = a \sin(\alpha)$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BH$ (так как призма прямая, $\angle B_1BH = 90^\circ$). Высота призмы $h = BB_1$.
$\tan(\gamma) = \frac{BB_1}{BH} \implies h = BB_1 = BH \cdot \tan(\gamma) = a \sin(\alpha) \tan(\gamma)$.
Теперь найдем объем призмы:
$V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{1}{2}a^2 \sin(2\alpha)\right) \cdot (a \sin(\alpha) \tan(\gamma))$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$, получаем:
$V = \frac{1}{2}a^2 (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)) \cdot a \sin(\alpha) \tan(\gamma) = a^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha) \tan(\gamma)$.
Ответ: $a^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha) \tan(\gamma)$.

3. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота параллелепипеда.
Основанием является прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см. Его площадь:
$S_{осн} = 4 \cdot 3 = 12$ см$^2$.
Пусть основание — $ABCD$, где $AB=4$ см, $AD=3$ см. Боковая грань $ABB_1A_1$ является квадратом со стороной 4 см. Это означает, что длина бокового ребра $AA_1 = 4$ см, и оно перпендикулярно ребру основания $AB$ ($\angle A_1AB = 90^\circ$).
Другая боковая грань $ADD_1A_1$ является параллелограммом со сторонами $AD=3$ см и $AA_1=4$ см. Острый угол этой грани равен $30^\circ$, то есть $\angle A_1AD = 30^\circ$.
Найдем высоту параллелепипеда $H$. Проведем высоту из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Обозначим ее $A_1K$.
Так как $AB \perp AD$ (основание — прямоугольник) и $AB \perp AA_1$ (боковая грань — квадрат), то ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $ADD_1A_1$.
Проведем в плоскости $ADD_1A_1$ перпендикуляр $A_1K$ к ребру $AD$. Тогда $A_1K \perp AD$.
Поскольку $A_1K$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$, а ребро $AB$ перпендикулярно этой плоскости, то $A_1K \perp AB$.
Так как $A_1K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AD$ и $AB$) в плоскости основания, то $A_1K$ является высотой параллелепипеда, $H = A_1K$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром $AA_1$, его проекцией на прямую $AD$ и высотой $A_1K$. В этом треугольнике $AA_1$ — гипотенуза, а $H=A_1K$ — катет, противолежащий углу $\angle A_1AD = 30^\circ$.
$H = A_1K = AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AD) = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.
Теперь вычислим объем параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot H = 12 \cdot 2 = 24$ см$^3$.
Ответ: $24 \text{ см}^3$.