Номер 13, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 13

Сфера и шар. Уравнение сферы

1. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок EF, если E (−1; 4; −3), F (1; −2; −5).

2. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8y + 11 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

3. Рёбра CB, CD и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 1 см, 3 см и 4 см. Найдите радиус сферы, проходящей через точки C, B, $D_1$ и середину ребра $AA_1$.

1.

Уравнение сферы с центром в точке $O(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

1. Найдём координаты центра сферы. Центр сферы является серединой её диаметра $EF$. Найдём координаты точки $O$ как середины отрезка с концами в точках $E(-1; 4; -3)$ и $F(1; -2; -5)$:

$x_0 = \frac{-1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_0 = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_0 = \frac{-3 + (-5)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, центр сферы — точка $O(0; 1; -4)$.

2. Найдём радиус сферы. Радиус $R$ равен половине длины диаметра $EF$. Сначала найдём квадрат длины диаметра:

$EF^2 = (1 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2 + (-5 - (-3))^2 = 2^2 + (-6)^2 + (-2)^2 = 4 + 36 + 4 = 44$

Квадрат радиуса равен четверти квадрата диаметра:

$R^2 = \frac{EF^2}{4} = \frac{44}{4} = 11$

3. Подставим координаты центра $O(0; 1; -4)$ и значение $R^2 = 11$ в стандартное уравнение сферы:

$(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - (-4))^2 = 11$

$x^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 11$

Ответ: $x^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 11$.

2.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, преобразуем его к стандартному виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8y + 11 = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 8y) + z^2 + 11 = 0$

Выделим полные квадраты:

Для $x$: $x^2 - 4x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (x - 2)^2 - 4$

Для $y$: $y^2 + 8y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - 4^2 = (y + 4)^2 - 16$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$((x - 2)^2 - 4) + ((y + 4)^2 - 16) + z^2 + 11 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + z^2 - 4 - 16 + 11 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + z^2 - 9 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + z^2 = 9$

Полученное уравнение соответствует стандартному виду уравнения сферы, где $R^2 = 9 > 0$. Следовательно, исходное уравнение является уравнением сферы.

Из стандартного вида находим координаты центра $(x_0; y_0; z_0)$ и радиус $R$:

Центр сферы: $O(2; -4; 0)$

Квадрат радиуса: $R^2 = 9$, значит, радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Уравнение является уравнением сферы с центром в точке $(2; -4; 0)$ и радиусом $3$.

3.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $C$, направив оси вдоль рёбер параллелепипеда: ось $Ox$ вдоль ребра $CD$, ось $Oy$ вдоль ребра $CB$, ось $Oz$ вдоль ребра $CC_1$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты, исходя из длин рёбер $CD = 3$, $CB = 1$, $CC_1 = 4$:

• $C(0, 0, 0)$
• $B(0, 1, 0)$
• $D(3, 0, 0)$
• $C_1(0, 0, 4)$

Найдём координаты остальных необходимых точек:

• $D_1$: так как $\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{CC_1}$, то $D_1(3, 0, 4)$.
• Середина ребра $AA_1$. Сначала найдём координаты вершин $A$ и $A_1$.
  $\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{CD}$, значит $A(3, 1, 0)$.
  $\vec{CA_1} = \vec{CA} + \vec{CC_1}$, значит $A_1(3, 1, 4)$.
  Пусть $M$ — середина $AA_1$. Её координаты равны полусумме координат точек $A$ и $A_1$:
  $M\left(\frac{3+3}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+4}{2}\right) = M(3, 1, 2)$.

Таким образом, сфера проходит через четыре точки: $C(0, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $D_1(3, 0, 4)$ и $M(3, 1, 2)$.

Пусть центр сферы — точка $O(x_0; y_0; z_0)$, а её радиус — $R$. Все точки на сфере равноудалены от её центра. Запишем это условие через квадраты расстояний: $OC^2 = OB^2 = OD_1^2 = OM^2 = R^2$.

$(x_0 - 0)^2 + (y_0 - 0)^2 + (z_0 - 0)^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$ (для точки C)

Приравняем квадраты расстояний:

1. $OC^2 = OB^2$:

$x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = (x_0 - 0)^2 + (y_0 - 1)^2 + (z_0 - 0)^2$

$y_0^2 = (y_0 - 1)^2 \Rightarrow y_0^2 = y_0^2 - 2y_0 + 1 \Rightarrow 2y_0 = 1 \Rightarrow y_0 = \frac{1}{2}$

2. $OD_1^2 = OM^2$:

$(x_0 - 3)^2 + (y_0 - 0)^2 + (z_0 - 4)^2 = (x_0 - 3)^2 + (y_0 - 1)^2 + (z_0 - 2)^2$

$y_0^2 + (z_0 - 4)^2 = (y_0 - 1)^2 + (z_0 - 2)^2$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $y_0^2 = (y_0 - 1)^2$, поэтому эти члены сокращаются:

$(z_0 - 4)^2 = (z_0 - 2)^2 \Rightarrow z_0^2 - 8z_0 + 16 = z_0^2 - 4z_0 + 4 \Rightarrow 12 = 4z_0 \Rightarrow z_0 = 3$

3. $OC^2 = OD_1^2$:

$x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = (x_0 - 3)^2 + y_0^2 + (z_0 - 4)^2$

$x_0^2 + z_0^2 = (x_0 - 3)^2 + (z_0 - 4)^2$

Подставим найденное значение $z_0 = 3$:

$x_0^2 + 3^2 = (x_0 - 3)^2 + (3 - 4)^2$

$x_0^2 + 9 = (x_0^2 - 6x_0 + 9) + (-1)^2$

$x_0^2 + 9 = x_0^2 - 6x_0 + 9 + 1$

$0 = -6x_0 + 1 \Rightarrow 6x_0 = 1 \Rightarrow x_0 = \frac{1}{6}$

Итак, координаты центра сферы $O(\frac{1}{6}; \frac{1}{2}; 3)$.

Теперь найдём радиус сферы. Проще всего это сделать, вычислив расстояние от центра $O$ до точки $C(0, 0, 0)$:

$R^2 = OC^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3^2 = \frac{1}{36} + \frac{1}{4} + 9$

$R^2 = \frac{1}{36} + \frac{9}{36} + \frac{324}{36} = \frac{1 + 9 + 324}{36} = \frac{334}{36} = \frac{167}{18}$

Радиус равен:

$R = \sqrt{\frac{167}{18}} = \frac{\sqrt{167}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{167}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{167} \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{334}}{6}$

Ответ: $R = \frac{\sqrt{334}}{6}$ см.