Номер 8, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 8

Цилиндр

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см, а угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Прямоугольник $\mathit{ABCD}$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $\mathit{AD} = 6 \text{ см}$, $\angle ABD = 60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $\mathit{ABCD}$ является высотой цилиндра.

3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны $30 \text{ см}^2$ и $20\sqrt{3} \text{ см}^2$. Угол между плоскостями сечений равен $30^\circ$. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через две другие образующие данных сечений.

1. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника, его сторона (которая является образующей и высотой цилиндра $h$) и другая сторона (которая является диаметром основания цилиндра $D$) образуют прямоугольный треугольник.
Пусть дана диагональ $d = 12$ см. Угол между диагональю и образующей равен $45^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике катетами являются высота $h$ и диаметр $D$, а гипотенузой — диагональ $d$.
Найдем высоту $h$ и диаметр $D$ основания:
$h = d \cdot \cos(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.
$D = d \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.
Радиус основания $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi R h$
Подставим найденные значения:
$S_{бок} = 2 \pi (3\sqrt{2})(6\sqrt{2}) = 2 \pi \cdot 18 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \pi \cdot 18 \cdot 2 = 72 \pi$ см².
Ответ: $72\pi \text{ см}^2$.

2. Развёрткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник $ABCD$. Одна его сторона равна высоте цилиндра $h$, а другая — длине окружности основания $C = 2\pi R$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. В нём катет $AD = 6$ см и $\angle ABD = 60^\circ$.
Найдем второй катет $AB$:
$\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{AB} \implies \tan(60^\circ) = \frac{6}{AB} \implies \sqrt{3} = \frac{6}{AB}$
$AB = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Сравним стороны прямоугольника: $AD=6$ см и $AB=2\sqrt{3}$ см. Поскольку $(2\sqrt{3})^2=12$ и $6^2=36$, то $2\sqrt{3} < 6$.
По условию, меньшая сторона прямоугольника является высотой цилиндра, значит, $h = AB = 2\sqrt{3}$ см.
Тогда большая сторона является длиной окружности основания: $C = AD = 6$ см.
Найдем радиус основания $R$:
$C = 2\pi R \implies 6 = 2\pi R \implies R = \frac{3}{\pi}$ см.
Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей основания $S_{осн}$.
$S_{бок} = C \cdot h = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см².
$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{3}{\pi}\right)^2 = \pi \frac{9}{\pi^2} = \frac{9}{\pi}$ см².
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 12\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{9}{\pi} = 12\sqrt{3} + \frac{18}{\pi}$ см².
Ответ: $12\sqrt{3} + \frac{18}{\pi} \text{ см}^2$.

3. Пусть $h$ — длина образующей цилиндра. Сечения, проходящие через образующую, являются прямоугольниками. Площадь такого сечения равна произведению образующей $h$ на длину хорды, соединяющей концы образующих в основании.
Пусть $a$ и $b$ — длины хорд оснований для двух данных сечений.
Для первого сечения площадь $S_1 = h \cdot a = 30$, откуда $a = \frac{30}{h}$.
Для второго сечения площадь $S_2 = h \cdot b = 20\sqrt{3}$, откуда $b = \frac{20\sqrt{3}}{h}$.
Угол между плоскостями сечений равен углу между хордами $a$ и $b$ в основании. Пусть этот угол $\gamma = 30^\circ$.
Третье сечение проходит через две другие образующие данных сечений. Значит, его основанием является хорда $c$, соединяющая концы хорд $a$ и $b$. В основании цилиндра мы получаем треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$, где угол между $a$ и $b$ равен $\gamma$.
Найдем длину хорды $c$ по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
$c^2 = \left(\frac{30}{h}\right)^2 + \left(\frac{20\sqrt{3}}{h}\right)^2 - 2 \cdot \frac{30}{h} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{h} \cdot \cos(30^\circ)$
$c^2 = \frac{900}{h^2} + \frac{400 \cdot 3}{h^2} - 2 \cdot \frac{600\sqrt{3}}{h^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$c^2 = \frac{900}{h^2} + \frac{1200}{h^2} - \frac{1800}{h^2} = \frac{900+1200-1800}{h^2} = \frac{300}{h^2}$
$c = \sqrt{\frac{300}{h^2}} = \frac{\sqrt{100 \cdot 3}}{h} = \frac{10\sqrt{3}}{h}$.
Площадь третьего сечения $S_3$ равна:
$S_3 = h \cdot c = h \cdot \frac{10\sqrt{3}}{h} = 10\sqrt{3}$ см².
Ответ: $10\sqrt{3} \text{ см}^2$.