Номер 5, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 5

Умножение вектора на число. Гомотетия

Найдите координаты образа точки $D (34; -52; -20)$ при гомотетии с центром в точке $C (10; -22; -8)$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{5}{6}$.

Через точку $A$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды равна $36 \, \text{см}^2$. Найдите площадь основания данной пирамиды, если точка $A$ делит её высоту в отношении 3 : 4, считая от вершины пирамиды.

Дан тетраэдр $DABC$. Медианы грани $BAD$ пересекаются в точке $O$. Точка $M$ — середина ребра $DC$. Выразите вектор $\vec{OM}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

1. Пусть $D'(x'; y'; z')$ — образ точки $D(34; -52; -20)$ при гомотетии с центром в точке $C(10; -22; -8)$ и коэффициентом $k = -\frac{5}{6}$.

По определению гомотетии, вектор $\vec{CD'}$ связан с вектором $\vec{CD}$ соотношением: $\vec{CD'} = k \cdot \vec{CD}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (34 - 10; -52 - (-22); -20 - (-8)) = (24; -30; -12)$.

Теперь умножим вектор $\vec{CD}$ на коэффициент гомотетии $k$:

$\vec{CD'} = -\frac{5}{6} \cdot \vec{CD} = -\frac{5}{6} \cdot (24; -30; -12) = (-\frac{5}{6} \cdot 24; -\frac{5}{6} \cdot (-30); -\frac{5}{6} \cdot (-12)) = (-20; 25; 10)$.

Координаты вектора $\vec{CD'}$ равны $(x' - x_C; y' - y_C; z' - z_C)$. Приравнивая их к найденным значениям, получаем систему уравнений для координат точки $D'$:

$x' - 10 = -20 \Rightarrow x' = 10 - 20 = -10$

$y' - (-22) = 25 \Rightarrow y' + 22 = 25 \Rightarrow y' = 25 - 22 = 3$

$z' - (-8) = 10 \Rightarrow z' + 8 = 10 \Rightarrow z' = 10 - 8 = 2$

Таким образом, координаты образа точки $D$ есть $D'(-10; 3; 2)$.

Ответ: $(-10; 3; 2)$.

2. Обозначим вершину пирамиды как $V$, высоту исходной пирамиды как $H$, а площадь её основания как $S$. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Пусть высота меньшей пирамиды равна $h'$, а площадь её основания $S' = 36 \text{ см}^2$.

Точка $A$ на высоте делит её в отношении $3:4$, считая от вершины. Это означает, что высота меньшей пирамиды $h'$ и высота оставшейся усеченной пирамиды соотносятся как $3:4$.

Таким образом, $h' = 3x$ для некоторого $x$, а полная высота исходной пирамиды $H = 3x + 4x = 7x$.

Коэффициент подобия $k$ между меньшей и исходной пирамидами равен отношению их высот:

$k = \frac{h'}{H} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S'}{S} = k^2 = (\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$.

Подставим известное значение площади меньшего основания $S' = 36 \text{ см}^2$ и найдем $S$:

$\frac{36}{S} = \frac{9}{49}$

$S = \frac{36 \cdot 49}{9} = 4 \cdot 49 = 196 \text{ см}^2$.

Ответ: $196 \text{ см}^2$.

3. Для решения задачи введем систему координат с началом в точке $D$. В этой системе координат положение любой точки $X$ определяется её радиус-вектором $\vec{DX}$.

Точка $O$ — точка пересечения медиан грани $BAD$, то есть её центроид. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Следовательно, радиус-вектор точки $O$:

$\vec{DO} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DD}}{3}$.

Поскольку $\vec{DD}$ — нулевой вектор, получаем:

$\vec{DO} = \frac{1}{3}(\vec{DA} + \vec{DB})$.

Точка $M$ — середина ребра $DC$. Её радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов концов отрезка:

$\vec{DM} = \frac{\vec{DD} + \vec{DC}}{2} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.

Теперь выразим искомый вектор $\vec{OM}$ через радиус-векторы точек $O$ и $M$ по правилу разности векторов:

$\vec{OM} = \vec{DM} - \vec{DO}$.

Подставим найденные выражения для $\vec{DM}$ и $\vec{DO}$:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{DC} - \frac{1}{3}(\vec{DA} + \vec{DB})$.

Раскрыв скобки, получим окончательное выражение:

$\vec{OM} = -\frac{1}{3}\vec{DA} - \frac{1}{3}\vec{DB} + \frac{1}{2}\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{OM} = -\frac{1}{3}\vec{DA} - \frac{1}{3}\vec{DB} + \frac{1}{2}\vec{DC}$.