Номер 22, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 22

Объёмы тел вращения

1. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр основания конуса с серединой образующей, равен $m$. Найдите объём конуса.

2. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 4 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 10 см, если радиус его основания равен 5 см. Найдите объём цилиндра,

3. Основание равнобедренного треугольника равно $b$, а угол при вершине равен $2\beta$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $c$ от него (рис. 2). Найдите объём тела вращения.

Рис. 2

1.

Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания, а $L$ — образующая. Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Высота конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ является гипотенузой, а $H$ и $R$ — катетами. Угол между образующей и высотой равен $\alpha$.

Из этого прямоугольного треугольника имеем соотношения:
$R = L \sin\alpha$
$H = L \cos\alpha$

Отрезок, соединяющий центр основания конуса (вершину прямого угла в нашем треугольнике) с серединой образующей (серединой гипотенузы), является медианой, проведённой к гипотенузе. По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, её длина равна половине гипотенузы. По условию, длина этого отрезка равна $m$.

Следовательно, $m = \frac{L}{2}$, откуда $L = 2m$.

Теперь мы можем выразить $R$ и $H$ через $m$ и $\alpha$:
$R = 2m \sin\alpha$
$H = 2m \cos\alpha$

Подставим эти выражения в формулу для объёма конуса:
$V = \frac{1}{3}\pi (2m \sin\alpha)^2 (2m \cos\alpha) = \frac{1}{3}\pi (4m^2 \sin^2\alpha)(2m \cos\alpha) = \frac{8}{3}\pi m^3 \sin^2\alpha \cos\alpha$.

Ответ: $V = \frac{8}{3}\pi m^3 \sin^2\alpha \cos\alpha$.

2.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота.

По условию, радиус основания $R = 5$ см. Нам необходимо найти высоту $H$.

Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — хорде $a$ в окружности основания. Расстояние от оси цилиндра до сечения равно расстоянию от центра окружности основания до этой хорды, то есть $d = 4$ см.

Рассмотрим основание цилиндра. В окружности радиусом $R=5$ см проведена хорда $a$ на расстоянии $d=4$ см от центра. Радиус, проведённый к концу хорды, расстояние от центра до хорды и половина хорды $(\frac{a}{2})$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$
$5^2 = 4^2 + (\frac{a}{2})^2$
$25 = 16 + (\frac{a}{2})^2$
$(\frac{a}{2})^2 = 9$, откуда $\frac{a}{2} = 3$ см.
Таким образом, длина хорды $a = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольное сечение со сторонами $a=6$ см и $H$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна $D = 10$ см. По теореме Пифагора для этого прямоугольника:
$D^2 = a^2 + H^2$
$10^2 = 6^2 + H^2$
$100 = 36 + H^2$
$H^2 = 64$, откуда $H = 8$ см.

Теперь мы можем найти объём цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 5^2 \cdot 8 = \pi \cdot 25 \cdot 8 = 200\pi$ см$^3$.

Ответ: $V = 200\pi$ см$^3$.

3.

Для нахождения объёма тела вращения воспользуемся второй теоремой Гюльдена-Паппа: объём тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, описываемой центром масс (центроидом) этой фигуры. Формула: $V = 2\pi \bar{r} S$, где $S$ — площадь фигуры, а $\bar{r}$ — расстояние от центроида до оси вращения.

1. Найдём площадь равнобедренного треугольника $ABC$.
Основание $AC = b$, угол при вершине $\angle B = 2\beta$. Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Значит, $HC = \frac{b}{2}$ и $\angle HBC = \beta$.
Из прямоугольного треугольника $BHC$ найдём высоту $BH$:
$\text{ctg}(\angle HBC) = \frac{BH}{HC} \Rightarrow BH = HC \cdot \text{ctg}\beta = \frac{b}{2}\text{ctg}\beta$.
Площадь треугольника $S$ равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{2}\text{ctg}\beta = \frac{b^2}{4}\text{ctg}\beta$.

2. Найдём положение центроида треугольника.
Центроид треугольника лежит на пересечении медиан. В равнобедренном треугольнике он лежит на высоте $BH$ на расстоянии $\frac{1}{3}$ её длины от основания $AC$.
Расстояние от центроида до основания $AC$ равно $d_c = \frac{1}{3}BH = \frac{1}{3} \cdot \frac{b}{2}\text{ctg}\beta = \frac{b}{6}\text{ctg}\beta$.

3. Найдём расстояние от центроида до оси вращения $m$.
Ось вращения $m$ параллельна основанию $AC$ и находится на расстоянии $c$ от него. Так как треугольник и ось вращения находятся по разные стороны от прямой, содержащей основание, то расстояние от центроида до оси вращения $\bar{r}$ равно сумме расстояния от оси до основания ($c$) и расстояния от основания до центроида ($d_c$).
$\bar{r} = c + d_c = c + \frac{b}{6}\text{ctg}\beta$.

4. Вычислим объём тела вращения.
$V = 2\pi \bar{r} S = 2\pi \left(c + \frac{b}{6}\text{ctg}\beta\right) \left(\frac{b^2}{4}\text{ctg}\beta\right) = \frac{\pi b^2 \text{ctg}\beta}{2}\left(c + \frac{b}{6}\text{ctg}\beta\right)$.
$V = \frac{\pi b^2 c \cdot \text{ctg}\beta}{2} + \frac{\pi b^3 \text{ctg}^2\beta}{12}$.

Ответ: $V = \frac{\pi b^2 \text{ctg}\beta}{2}\left(c + \frac{b}{6}\text{ctg}\beta\right)$.