Номер 18, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 18

Тела вращения, описанные около сферы

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $25\pi \text{ см}^2$. Найдите радиус шара, вписанного в данный цилиндр.

2. Высота конуса равна 18 см, а радиус вписанного в него шара — 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 12 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

1.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра.
По условию $S_{бок} = 25\pi \text{ см}^2$, следовательно, $2 \pi R H = 25\pi$, или $2 R H = 25$.
Если в цилиндр вписан шар, то радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу шара $r$, а высота цилиндра $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2r$.
Подставим эти соотношения в уравнение $2 R H = 25$:
$2 \cdot r \cdot (2r) = 25$
$4r^2 = 25$
$r^2 = \frac{25}{4}$
$r = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см}$.

Ответ: радиус вписанного шара равен 2.5 см.

2.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ – радиус основания конуса, а $l$ – его образующая.
Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота треугольника – это высота конуса $H = 18$ см, а радиус вписанной окружности – это радиус шара $r = 8$ см.
Пусть $\triangle ABC$ – осевое сечение конуса, где $A$ – вершина, $BC$ – диаметр основания, $AM$ – высота ($AM = H = 18$). Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $AM$. Расстояние от центра $O$ до основания $BC$ равно радиусу $r$, то есть $OM = r = 8$.
Тогда расстояние от вершины $A$ до центра $O$ равно $AO = AM - OM = H - r = 18 - 8 = 10$ см.
Проведем радиус $OK$ из центра $O$ к образующей $AC$ (стороне треугольника). $OK \perp AC$ и $OK = r = 8$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOK$. По теореме Пифагора найдем катет $AK$:
$AK = \sqrt{AO^2 - OK^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.
Прямоугольные треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle AMC$ подобны (по общему острому углу $\angle CAM$). Из подобия следует отношение сторон:
$\frac{OK}{MC} = \frac{AK}{AM}$
Здесь $MC = R$ – радиус основания конуса. Подставим известные значения:
$\frac{8}{R} = \frac{6}{18} \implies \frac{8}{R} = \frac{1}{3} \implies R = 8 \cdot 3 = 24$ см.
Теперь найдем образующую $l = AC$ из прямоугольного треугольника $\triangle AMC$ по теореме Пифагора:
$l = \sqrt{AM^2 + MC^2} = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot 24 \cdot 30 = 720\pi \text{ см}^2$.

Ответ: площадь боковой поверхности конуса равна $720\pi \text{ см}^2$.

3.

Осевое сечение усеченного конуса, в который вписан шар, представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность.
Пусть радиусы оснований усеченного конуса равны $R_1 = 12$ см и $R_2 = 3$ см, образующая равна $l$.
Для описанной около окружности трапеции (и любого описанного четырехугольника) суммы длин противоположных сторон равны. В нашем случае сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон:
$2R_1 + 2R_2 = l + l$
$2(R_1 + R_2) = 2l$
$l = R_1 + R_2$
Подставим значения радиусов:
$l = 12 + 3 = 15$ см.
Теперь найдем радиус вписанного шара $r$. Высота усеченного конуса $H$ равна диаметру вписанного шара, то есть $H = 2r$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $H$, частью большего основания, равной разности радиусов $(R_1 - R_2)$, и боковой стороной $l$ (которая является гипотенузой).
По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + (R_1 - R_2)^2$.
Подставим известные значения и $H = 2r$:
$15^2 = (2r)^2 + (12 - 3)^2$
$225 = 4r^2 + 9^2$
$225 = 4r^2 + 81$
$4r^2 = 225 - 81$
$4r^2 = 144$
$r^2 = \frac{144}{4} = 36$
$r = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: радиус шара равен 6 см, образующая усеченного конуса равна 15 см.