Номер 12, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 12

Комбинации конуса и пирамиды

1. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна 12 см и образует с диагональю угол 60°. Каждое боковое ребро пирамиды равно 18 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 20 см, а одно из оснований — 32 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

3. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона большего основания усечённой пирамиды равна 18 см, высота — $\sqrt{3}$ см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

1.

Поскольку конус описан около пирамиды, то основание пирамиды вписано в основание конуса, а их вершины совпадают. Так как все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центр описанной окружности — это точка пересечения его диагоналей.

Рассмотрим основание пирамиды — прямоугольник ABCD. Пусть сторона $AB = 12$ см, а угол между этой стороной и диагональю AC равен $60^\circ$ (то есть $\angle CAB = 60^\circ$).

Из прямоугольного треугольника ABC найдем диагональ AC, которая является диаметром основания конуса. $AC = \frac{AB}{\cos(60^\circ)} = \frac{12}{1/2} = 24$ см.

Радиус основания конуса R равен половине диагонали прямоугольника: $R = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Высоту конуса H найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом описанной окружности и боковым ребром пирамиды L. Боковое ребро пирамиды является образующей конуса, но в данной задаче это не требуется. Боковое ребро пирамиды дано и равно 18 см. По теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = L^2$. $H^2 = L^2 - R^2 = 18^2 - 12^2 = (18-12)(18+12) = 6 \cdot 30 = 180$. $H = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру конуса ($2R$), и высотой, равной высоте конуса (H). Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$. $S_{сеч} = 12 \cdot 6\sqrt{5} = 72\sqrt{5}$ см².

Ответ: $72\sqrt{5}$ см².

2.

Поскольку конус вписан в пирамиду, то основание конуса вписано в основание пирамиды, их вершины совпадают, а боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды.

Основание пирамиды — равнобокая трапеция. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. По условию $c = 20$ см, одно из оснований (пусть большее) $a = 32$ см. Тогда $a + b = 2c$. $32 + b = 2 \cdot 20 = 40$. $b = 40 - 32 = 8$ см.

Найдем высоту трапеции $h_{трап}$. Проведем высоты из вершин меньшего основания на большее. Они отсекут на большем основании отрезок, равный $(\frac{a-b}{2})$. $(\frac{32-8}{2}) = \frac{24}{2} = 12$ см. Из получившегося прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $h_{трап}^2 = c^2 - (\frac{a-b}{2})^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$. $h_{трап} = \sqrt{256} = 16$ см.

Радиус вписанной в трапецию окружности R (который является радиусом основания конуса) равен половине высоты трапеции: $R = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Высота конуса H равна высоте пирамиды. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды H, радиусом вписанной окружности R и апофемой пирамиды. Угол между радиусом и апофемой равен углу наклона боковой грани. $\tan(45^\circ) = \frac{H}{R}$. Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = R = 8$ см.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ равна: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = 8 \cdot 8 = 64$ см².

Ответ: 64 см².

3.

Поскольку правильная усеченная треугольная пирамида описана около усеченного конуса, то основания конуса (окружности) вписаны в основания пирамиды (правильные треугольники).

Найдем радиус $R$ большего основания конуса. Он равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a_1 = 18$ см. $R = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Двугранный угол при ребре большего основания равен $45^\circ$. Рассмотрим осевое сечение, перпендикулярное стороне основания. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, боковая сторона которой является апофемой пирамиды, а основания — высотами треугольных оснований. Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды $H = \sqrt{3}$ см. В эту трапецию вписано осевое сечение конуса (тоже трапеция).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды $H$, разностью радиусов оснований $(R-r)$ и образующей конуса $L$ (которая равна апофеме пирамиды). Угол в этом треугольнике при большем основании равен данному двугранному углу $45^\circ$. Из этого треугольника: $\tan(45^\circ) = \frac{H}{R-r}$. Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = R - r$. $\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - r$. $r = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем образующую конуса $L$: $\sin(45^\circ) = \frac{H}{L}$. $L = \frac{H}{\sin(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}/2} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6}$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)L$. $S_{бок} = \pi(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3})\sqrt{6} = \pi(5\sqrt{3})\sqrt{6} = 5\pi\sqrt{18} = 5\pi\sqrt{9 \cdot 2} = 5\pi \cdot 3\sqrt{2} = 15\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $15\pi\sqrt{2}$ см².