Номер 8, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 8

Цилиндр

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащий против диаметра основания, равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Прямоугольник ABCD является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а угол между диагоналями — 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если большая сторона прямоугольника ABCD является высотой цилиндра.

3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны $8 \text{ см}^2$ и $15 \text{ см}^2$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если плоскости проведённых сечений перпендикулярны.

1. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Пусть его стороны — это высота цилиндра $h$ и диаметр основания $d$. Диагонали этого прямоугольника равны $10$ см. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Угол между диагоналями, лежащий против диаметра $d$, равен $120^\circ$.

В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому они образуют две пары равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим треугольник, образованный двумя полудиагоналями (длиной $10/2 = 5$ см) и стороной $d$ (диаметром). Угол между равными сторонами этого треугольника равен $120^\circ$.

По теореме косинусов найдем диаметр $d$:
$d^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) = 25 + 25 - 50 \cdot (-\frac{1}{2}) = 50 + 25 = 75$
$d = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим другой равнобедренный треугольник, образованный теми же полудиагоналями и стороной $h$ (высотой). Угол при вершине этого треугольника будет смежным с углом $120^\circ$, то есть $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Так как это равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, высота цилиндра $h$ равна длине полудиагонали, то есть $h=5$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi d h$.
$S_{бок} = \pi \cdot (5\sqrt{3}) \cdot 5 = 25\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $25\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Развёртка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник $ABCD$. Его стороны равны высоте цилиндра $h$ и длине окружности основания $C = 2\pi r$. Площадь этого прямоугольника равна площади боковой поверхности цилиндра.

Диагональ прямоугольника $d_{p} = 10$ см, а угол между диагоналями равен $60^\circ$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный двумя полудиагоналями (длиной $10/2 = 5$ см) и одной из сторон прямоугольника. Поскольку угол между полудиагоналями равен $60^\circ$, этот треугольник равносторонний. Значит, одна из сторон прямоугольника равна $5$ см.

Найдем вторую сторону прямоугольника по теореме Пифагора, используя прямоугольный треугольник со сторонами (катетами) $a$, $b$ и гипотенузой $d_{p}$:
$a^2 + b^2 = d_{p}^2$
$5^2 + b^2 = 10^2$
$25 + b^2 = 100$
$b^2 = 75 \implies b = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ см.

Стороны прямоугольника равны $5$ см и $5\sqrt{3}$ см. По условию, бóльшая сторона является высотой цилиндра. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $5\sqrt{3} > 5$. Следовательно, высота цилиндра $h = 5\sqrt{3}$ см. Тогда длина окружности основания $C = 5$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
Площадь боковой поверхности — это площадь развёртки: $S_{бок} = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$ см$^2$.
Найдем радиус основания из длины окружности: $C = 2\pi r \implies 5 = 2\pi r \implies r = \frac{5}{2\pi}$ см.
Площадь одного основания: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi (\frac{5}{2\pi})^2 = \pi \frac{25}{4\pi^2} = \frac{25}{4\pi}$ см$^2$.

Таким образом, площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 25\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{25}{4\pi} = 25\sqrt{3} + \frac{25}{2\pi}$ см$^2$.

Ответ: $25\sqrt{3} + \frac{25}{2\pi}$ см$^2$.

3. Сечения, проведенные через одну образующую цилиндра, представляют собой прямоугольники. Одна сторона у этих прямоугольников общая — это образующая (высота) цилиндра $h$. Другие стороны — это хорды в основании цилиндра, выходящие из одной точки.

Пусть длина первой хорды $a$, а второй — $b$. Тогда площади сечений равны:
$S_1 = a \cdot h = 8$ см$^2$
$S_2 = b \cdot h = 15$ см$^2$

Отсюда можем выразить длины хорд: $a = \frac{8}{h}$ и $b = \frac{15}{h}$.

Поскольку плоскости сечений перпендикулярны и проходят через общую образующую, перпендикулярную основанию, то хорды $a$ и $b$ в основании также перпендикулярны. Эти две хорды образуют прямой угол вписанного в окружность основания треугольника. Гипотенуза этого треугольника является диаметром $d$ окружности основания.

По теореме Пифагора для этого треугольника:
$d^2 = a^2 + b^2$
Подставим выражения для $a$ и $b$:
$d^2 = (\frac{8}{h})^2 + (\frac{15}{h})^2 = \frac{64}{h^2} + \frac{225}{h^2} = \frac{289}{h^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем: $d = \frac{17}{h}$, откуда следует, что $d \cdot h = 17$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $d$ и высоте цилиндра $h$. Его площадь $S_{осев} = d \cdot h$.

Следовательно, площадь осевого сечения равна $17$ см$^2$.

Ответ: $17$ см$^2$.