Номер 6, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 6

Скалярное произведение векторов

1. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} (5; -1; -2)$ и $\vec{b} (2; 6; -3)$.

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 4\sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^{\circ}$. Найдите:

1) $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$;

2) $|2\vec{b} + 5\vec{a}|$.

3. Дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Известно, что $AC = BC = AA_1$, $\angle ACB = 90^{\circ}$. Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $BC$.

1.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$.

Для данных векторов $\vec{a}(5; -1; -2)$ и $\vec{b}(2; 6; -3)$ сначала найдем их скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 2 + (-1) \cdot 6 + (-2) \cdot (-3) = 10 - 6 + 6 = 10$.

Затем найдем модули (длины) векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$. $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{10}{7\sqrt{30}} = \frac{10\sqrt{30}}{7 \cdot 30} = \frac{10\sqrt{30}}{210} = \frac{\sqrt{30}}{21}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{21}$.

2.

Дано: $|\vec{a}| = 4\sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 5$, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^\circ$.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, которое понадобится для обоих пунктов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 20$.

Также вычислим квадраты модулей векторов, так как $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$: $|\vec{a}|^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$. $|\vec{b}|^2 = 5^2 = 25$.

1) Найдем значение выражения $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$.

Используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность), раскроем скобки: $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a} = 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 5(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 5|\vec{a}|^2$.

Подставим вычисленные ранее значения: $2 \cdot 20 + 5 \cdot 32 = 40 + 160 = 200$.

Ответ: 200.

2) Найдем модуль вектора $|2\vec{b} + 5\vec{a}|$.

Модуль вектора можно найти как квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора: $| \vec{v} | = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$. $|2\vec{b} + 5\vec{a}| = \sqrt{(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot (2\vec{b} + 5\vec{a})}$.

Раскроем скобки в скалярном произведении: $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot (2\vec{b} + 5\vec{a}) = 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) + 2 \cdot (2\vec{b} \cdot 5\vec{a}) + 25(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 4|\vec{b}|^2 + 20(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 25|\vec{a}|^2$.

Подставим известные значения: $4 \cdot 25 + 20 \cdot 20 + 25 \cdot 32 = 100 + 400 + 800 = 1300$.

Таким образом, модуль вектора равен: $|2\vec{b} + 5\vec{a}| = \sqrt{1300} = \sqrt{100 \cdot 13} = 10\sqrt{13}$.

Ответ: $10\sqrt{13}$.

3.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BC$ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат. Так как призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямая, а в основании, судя по условию $\angle ACB = 90^\circ$, лежит фигура с прямым углом, поместим начало координат в вершину $C(0; 0; 0)$. Ось $Ox$ направим по лучу $CA$, ось $Oy$ — по лучу $CB$, а ось $Oz$ — по боковому ребру $CC_1$.

Пусть $AC = BC = AA_1 = a$, где $a > 0$. Тогда координаты необходимых нам точек будут: $C(0; 0; 0)$, $A(a; 0; 0)$, $B(0; a; 0)$. Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию, и их длина равна $AA_1=a$. Координаты точки $B_1$ получаются сдвигом точки $B$ на вектор $(0; 0; a)$: $B_1(0; a; a)$.

Направляющим вектором прямой $AB_1$ является вектор $\vec{AB_1}$, а направляющим вектором прямой $BC$ — вектор $\vec{BC}$. Найдем их координаты: $\vec{AB_1} = B_1 - A = (0-a; a-0; a-0) = (-a; a; a)$. $\vec{BC} = C - B = (0-0; 0-a; 0-0) = (0; -a; 0)$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми находится по формуле, где в числителе стоит модуль скалярного произведения направляющих векторов: $\cos\phi = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{BC}|}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{BC}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{AB_1} \cdot \vec{BC} = (-a) \cdot 0 + a \cdot (-a) + a \cdot 0 = -a^2$.

Найдем модули векторов: $|\vec{AB_1}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. $|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2} = a$.

Подставим найденные значения в формулу: $\cos\phi = \frac{|-a^2|}{a\sqrt{3} \cdot a} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, искомый угол $\phi$ равен $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$.