Номер 2, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 2

Векторы в пространстве

1. Найдите точку $C$, являющуюся прообразом точки $C_1 (2; -6; 1)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b} (-8; 4; 3)$. Найдите модуль вектора $\vec{CC_1}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $B (-3; 2; -4)$, $C (3; -2; 1)$ и $D (-6; 4; 2)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $A$.

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На отрезке $DC_1$ отметили точку $M$. Докажите, что векторы $A_1M$, $AC$ и $DA_1$ являются компланарными.

1.

Пусть точка $C$ имеет координаты $(x; y; z)$. Точка $C_1(2; -6; 1)$ является образом точки $C$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b}(-8; 4; 3)$. Это означает, что координаты точки $C_1$ получаются прибавлением соответствующих координат вектора $\vec{b}$ к координатам точки $C$.

$x_{C_1} = x_C + x_b$
$y_{C_1} = y_C + y_b$
$z_{C_1} = z_C + z_b$

Чтобы найти координаты точки $C$ (прообраза), нужно из координат точки $C_1$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{b}$:

$x_C = x_{C_1} - x_b = 2 - (-8) = 2 + 8 = 10$
$y_C = y_{C_1} - y_b = -6 - 4 = -10$
$z_C = z_{C_1} - z_b = 1 - 3 = -2$

Следовательно, координаты точки $C$ равны $(10; -10; -2)$.

Вектор параллельного переноса, который перемещает точку $C$ в точку $C_1$, это и есть вектор $\vec{CC_1}$. По условию, этот перенос осуществляется на вектор $\vec{b}$, значит, $\vec{CC_1} = \vec{b} = (-8; 4; 3)$.

Модуль (длина) вектора $\vec{CC_1}$ вычисляется по формуле:

$|\vec{CC_1}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$|\vec{CC_1}| = \sqrt{(-8)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 16 + 9} = \sqrt{89}$

Ответ: Координаты точки $C(10; -10; -2)$, модуль вектора $|\vec{CC_1}| = \sqrt{89}$.

2.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому векторы, их представляющие, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Пусть искомая вершина $A$ имеет координаты $(x_A; y_A; z_A)$. Координаты данных вершин: $B(-3; 2; -4)$, $C(3; -2; 1)$ и $D(-6; 4; 2)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-3 - x_A; 2 - y_A; -4 - z_A)$

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (3 - (-6); -2 - 4; 1 - 2) = (9; -6; -1)$

Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, то их соответствующие координаты равны. Приравняем их и найдем координаты точки $A$:

$-3 - x_A = 9 \implies x_A = -3 - 9 = -12$
$2 - y_A = -6 \implies y_A = 2 - (-6) = 8$
$-4 - z_A = -1 \implies z_A = -4 - (-1) = -3$

Таким образом, координаты вершины $A$ равны $(-12; 8; -3)$.

Ответ: $A(-12; 8; -3)$.

3.

Векторы являются компланарными, если один из них можно выразить через линейную комбинацию двух других. Докажем, что вектор $\vec{A_1M}$ можно представить в виде $\vec{A_1M} = k \cdot \vec{AC} + l \cdot \vec{DA_1}$ для некоторых чисел $k$ и $l$.

Введем базис из трех некомпланарных векторов, отложенных от одной вершины, например $A$: $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{DA_1}$ через базисные векторы:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{a}$

$\vec{DA_1} = \vec{AA_1} - \vec{AD} = \vec{c} - \vec{a}$

Теперь выразим вектор $\vec{A_1M}$. Точка $M$ лежит на отрезке $DC_1$, следовательно, существует такое число $t \in [0, 1]$, что $\vec{DM} = t \cdot \vec{DC_1}$.

Выразим $\vec{A_1M}$ по правилу многоугольника: $\vec{A_1M} = \vec{A_1A} + \vec{AD} + \vec{DM}$.

$\vec{A_1A} = -\vec{AA_1} = -\vec{c}$

$\vec{AD} = \vec{a}$

$\vec{DM} = t \cdot \vec{DC_1} = t \cdot (\vec{D_1C_1} + \vec{DD_1}) = t \cdot (\vec{AB} + \vec{AA_1}) = t \cdot (\vec{b} + \vec{c})$

Подставляем найденные выражения:

$\vec{A_1M} = -\vec{c} + \vec{a} + t(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} + t\vec{b} + (t-1)\vec{c}$

Теперь проверим, существуют ли такие $k$ и $l$, что $\vec{A_1M} = k \cdot \vec{AC} + l \cdot \vec{DA_1}$:

$\vec{a} + t\vec{b} + (t-1)\vec{c} = k(\vec{a} + \vec{b}) + l(-\vec{a} + \vec{c})$

$\vec{a} + t\vec{b} + (t-1)\vec{c} = (k-l)\vec{a} + k\vec{b} + l\vec{c}$

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ некомпланарны, равенство возможно только при равенстве коэффициентов при них:

$\begin{cases} k - l = 1 \\ k = t \\ l = t-1 \end{cases}$

Подставим значения $k=t$ и $l=t-1$ в первое уравнение системы:

$t - (t-1) = 1$

$t - t + 1 = 1$

$1=1$

Получено тождество, которое верно при любом значении $t$. Это означает, что для любого положения точки $M$ на отрезке $DC_1$ существуют коэффициенты $k=t$ и $l=t-1$, при которых вектор $\vec{A_1M}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DA_1}$. Следовательно, векторы $\vec{A_1M}$, $\vec{AC}$ и $\vec{DA_1}$ компланарны, что и требовалось доказать.